电流产生磁场，电流变化改变自身磁通，磁通变化又产生反抗变化的电动势。电感把这个反馈浓缩为一个元件关系，并让磁场能与电容电场能交换。
1. Inductance
线性、固定几何下，磁通链 \(N\Phi_B\) 与电流成正比，比例系数为 inductance 电感 \(L\)：
\[\begin{gathered} N\Phi_B=Li, \\ \mathcal E_{\mathrm{ind}}=-L\frac{di}{dt}. \end{gathered}\]
单位 henry 亨利 \(\mathrm H=\mathrm{Wb/A}=\mathrm{V\,s/A}\)。负号表达楞次定律，反抗电流变化，而不是永远反抗电流本身。
采用电流进入元件正端的被动约定，端电压降为 \(v_L=L\,di/dt\)；它与沿电流方向的自感电动势符号相反。在有限电压的理想电路中，电感电流不能瞬间跳变，\(\Delta i=\int v_Ldt/L\)。接下来从线圈结构求这个比例系数。
2. Inductors
Inductor 电感器是有显著电感的元件，常用线圈实现。长螺线管内部 \(B\approx\mu Ni/\ell\)，每匝磁通 \(BA\)，所以
\[L=\mu\frac{N^2A}{\ell}.\]
匝数平方的关系来自两件事：更多匝加强场，也让更多匝链接同一磁通。增大截面积或磁导率使电感增大，长度增大则减小。公式要求长线圈、适合线性描述的磁芯、边缘效应可忽略。
真实线圈还有电阻和其他效应，长期直流下它不一定是完美导线；理想电感只在电流变化时有端电压。建立电流需要做功，这些能量存在哪里？
3. Energy in inductor circuits
电感吸收功率 \(p_L=v_Li=Li\,di/dt\)。从零电流建立到 \(I\)，积分得到磁场储能：
\[U_L=\int_0^I Li\,di=\frac12LI^2.\]
线性介质中磁场能量密度为 \(u_B=B^2/(2\mu)\)；长螺线管体积上的积分与 \(LI^2/2\) 一致。能量储存在场中，电感不是像电阻一样把这部分能量持续变成热。
断开回路时，电感会通过产生较大电压使原电流趋于继续，储能需要释放到其他元件、辐射或电弧。实际设计常设置放电通路。下一部分在明确电阻通路中追踪这个变化。
4. RL circuits
简单串联 RL 电路的回路方程是 \(\mathcal E-Ri-L\dot i=0\)，时间常数为
\[\tau_L=\frac LR.\]
恒压接通、初电流为 \(I_0\) 时，\(i=I_\infty+(I_0-I_\infty)e^{-t/\tau_L}\)，\(I_\infty=\mathcal E/R\)。若 \(I_0=0\)，电流从零增长，电阻电压从零增长，电感电压从 \(\mathcal E\) 下降；长期理想电感电压为零。
没有电源、经过电阻释放储能时，\(L\dot i+Ri=0\)，所以 \(i=I_0e^{-t/\tau_L}\)。按原电流方向，电感电压为 \(-Ri\)，它此时输出能量。\(U_L\) 按 \(e^{-2t/\tau_L}\) 下降，\(-dU_L/dt=Ri^2\)，正好等于电阻热功率。
RC 与 RL 都是指数趋近，但电容保持电压连续、电感保持电流连续，时间常数也分别为 \(RC\) 与 \(L/R\)。让两种储能元件直接相连，会产生另一种熟悉的运动。
5. LC circuits
LC circuit LC 振荡电路让电容电场能与电感磁场能往复交换。设 \(q\) 是某极板电荷，正电流沿使该极板放电的方向，\(i=-\dot q\)。理想无电阻回路给出
\[\begin{gathered} L\ddot q+\frac qC=0, \\ \omega_0=\frac1{\sqrt{LC}}, \\ T=2\pi\sqrt{LC}. \end{gathered}\]
这是弹簧–质量系统 \(m\ddot x+kx=0\) 的同一结构：\(q\) 对应位移、\(L\) 对应惯性、\(1/C\) 对应回复系数。若初始电荷 \(Q_0\)、电流为零，\(q=Q_0\cos\omega_0t\)，\(i=Q_0\omega_0\sin\omega_0t\)。
\[U=\frac{q^2}{2C}+\frac12Li^2=\text{constant}.\]
电荷最大时电场能最大、电流为零；电荷为零时磁场能最大、电流最大。真实电阻与辐射会使振荡衰减，理想等幅结论需要明确无耗散条件。
到这里，从电荷、场、势能到电流、磁通和振荡，课程重新连回了力学中的变化率、回复作用与能量守恒。相同数学结构背后，是不同相互作用的具体物理故事。
