Projectile Motion · AP Physics 1

把一个球抛出去，轨迹虽然弯曲，水平方向和竖直方向却可以分别研究。先从只受重力的一维运动开始，再把它扩展到二维；两方向真正共享的是时间。

1. Free fall motion

Free fall 自由落体指物体只受重力的运动，并不限于“从静止释放”。在地面附近、忽略空气阻力时，重力加速度大小近似不变， $g\approx9.8\,\mathrm{m/s^2}$ ，方向竖直向下；课堂估算可以用题目指定的 $10\,\mathrm{m/s^2}$ 。

取竖直向上为正方向，就有

$\begin{gathered} a_y=-g, \\ v_y=v_{y0}-gt, \end{gathered}$ $y-y_0=v_{y0}t-\frac12gt^2.$

“自由落体”规定受力情况，“匀加速”规定运动情况。在这个近地模型里，前者给出后者。忽略阻力后，物体的质量不影响下落加速度。若初速度向上，这套式子仍然成立。

竖直上抛时，初速度向上，加速度始终向下。上升中， $$v_y>0$$ 且 $$a_y<0$$ ，速率减小；最高点 $$v_y=0$$ ，但 $$a_y=-g$$ ；下降中两者都向下，速率增加。因此不需要在最高点更换重力方向或另写一套定律。

$v_y^2=v_{y0}^2-2g(y-y_0).$

最高点的条件是 $$v_y=0$$ 。只有回到出发高度、 $$g$$ 近似恒定且空气阻力可忽略时，上下两段才具有时间和速率的对称性；返回速度方向相反。把这一维竖直运动保留，再加一个水平速度，就得到平抛。

球水平抛出后，水平方向没有合力，竖直方向只有重力。取 $$+y$$ 向上，初速度完全水平：

$a_x=0,\quad a_y=-g,\quad v_{y0}=0,$ $\begin{gathered} x-x_0=v_{x0}t, \\ y-y_0=-\frac12gt^2. \end{gathered}$

同一高度处同时释放一个球、水平抛出另一个球，如果它们竖直初速度相同，且落地面相同，就同时落地。水平速度决定落地点，不能延长由竖直运动决定的落地时间。每个时刻的总速度是两个分量的矢量和，轨迹切线给出它的方向：

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.$

平抛只是“竖直初速度为零”的特例，斜抛可以沿用同一思路。

把初速度 $$v_0$$ 分解，若发射角 $\theta$ 从水平向上量起，

$\begin{gathered} v_{x0}=v_0\cos\theta, \\ v_{y0}=v_0\sin\theta. \end{gathered}$

运动方程就是水平方向的匀速与竖直方向的匀加速：

$x-x_0=v_0\cos\theta\,t,$ $y-y_0=v_0\sin\theta\,t-\frac12gt^2.$

最高点只有 $$v_y=0$$ ， $$v_x$$ 一般不为零，总速度也不为零。消去时间，轨迹是抛物线。出发与落地高度相同时，才能由这些式子得到

$T=\frac{2v_0\sin\theta}{g},\quad R=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g},\quad H=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}.$

这里 $$H$$ 是相对出发位置的最大高度。固定初速、等高起落的理想条件下， $45^\circ$ 射程最大；有高度差或明显阻力时，不能套用这个结论。轨迹还与观察者有关，这正是最后一段的问题。

在匀速列车里竖直抛球，车内看它沿竖直方向运动，地面上看它有水平速度，走过一条抛物线。两种描述并不矛盾，速度必须说明“相对于谁”。用下标记清观察关系：

$\vec v_{A/C}=\vec v_{A/B}+\vec v_{B/C}.$

两个作匀速直线相对运动的惯性参考系，测得的位置和速度可以不同，加速度相同。在 AP Physics 1 中，先掌握直线方向上的有符号相加；二维相对速度可以用前面学过的矢量分解作拓展。不要把不同参考系的速度混在同一个运动方程里。

到这里，我们能描述运动，却还没有解释为什么速度改变。下一单元把注意力从“运动怎样发生”转向“物体与谁相互作用”，由此引入力和牛顿定律。