轮子转动时，离轴远的点走得快，近的点走得慢，但它们在同一时间转过相同角度。用角量描述整个刚体，可以把先前的运动学和动力学重新连接起来。
1. Translational motion vs. rotational motion
平动中，物体各点具有相同速度，可以先用质心描述；绕固定轴的刚体转动中，各点的线速度不同，但角位移、角速度和角加速度相同。这里的rigid body 刚体是忽略形变的模型。
直线运动里的 \(x,v,a\) 对应转动里的 \(\theta,\omega,\alpha\)。若整个时间段内角加速度恒定，就有与 Big Five 对应的关系：
\[\begin{gathered} \omega_f=\omega_i+\alpha t, \\ \Delta\theta=\omega_it+\frac12\alpha t^2, \end{gathered}\] \[\omega_f^2=\omega_i^2+2\alpha\Delta\theta.\]
角速度图的斜率与面积分别给出角加速度和角位移。这个对应能帮助理解，却不意味着角量和线量可以混用。先把新的物理量定义清楚。
2. Physical quantities in rotational motion
Angular displacement 角位移用 radian，\(\mathrm{rad}\) 表示，\(\theta=s/r\)，一周为 \(2\pi\) rad。Angular velocity 角速度是角位移的变化率，单位 \(\mathrm{rad/s}\)；angular acceleration 角加速度是角速度的变化率，单位 \(\mathrm{rad/s^2}\)。固定轴问题先约定顺时针或逆时针为正。
半径不变时，弧长关系给出
\[\begin{gathered} s=r\theta, \\ v_t=r\omega, \\ a_t=r\alpha. \end{gathered}\]
这些式子使用弧度。径向加速度另外为 \(a_r=r\omega^2\)，即使 \(\alpha=0\) 也可能不为零。一个点的加速度可能同时有径向与切向分量。要改变刚体的转动，还需要看力施加在什么位置。
3. Torque
同样大小的力，推门把手比推铰链附近容易让门转动。Torque 力矩描述力相对于指定轴的转动效果：
\[\tau=rF\sin\phi=F\ell.\]
\(\phi\) 是从轴到作用点的矢量与力的夹角，\(\ell\) 是转轴到力的作用线的垂直距离，即力臂。单位为 \(\mathrm{N\,m}\)，虽然与焦耳的量纲相同，力矩并不是能量。
同一力对不同轴的力矩不同；作用线穿过轴时力矩为零。平面问题给顺、逆时针力矩相反符号，再求总和。恒力矩转过角位移时，其功是 \(W=\tau\Delta\theta\)。若各力矩相互抵消，转动状态会怎样？
4. Rotational equilibrium
固定轴刚体在rotational equilibrium 转动平衡中满足
\[\sum\tau=0.\]
在转动惯量不变的条件下，这意味着角加速度为零，角速度可以为零，也可以是不变的非零值。静止的物体还须满足平动平衡 \(\sum\vec F=0\)；只满足其中一个条件不足以保证完全静止。
可选择一个方便的轴计算力矩，让某些未知力的力臂为零，但这只是计算简化，未知力并未消失。若总力矩不为零，转动的改变还取决于质量怎样分布。
5. Rotational inertia
Rotational inertia 转动惯量把质量及其到转轴的距离一起计入：
\[I=\sum m_ir_i^2.\]
单位 \(\mathrm{kg\,m^2}\)。相同总质量，越多质量分布在离轴远的位置，\(I\) 越大，越难改变转动。同一个物体换轴，\(I\) 也会改变。平行轴定理为 \(I=I_{\mathrm{cm}}+Md^2\)，这里 \(d\) 是两条平行轴之间的距离。
对于固定轴、转动惯量不变的刚体，牛顿第二定律的转动形式是
\[\sum\tau=I\alpha.\]
不要把径向的 \(mv^2/r\) 当作转动惯量，也不要把 \(a=r\alpha\) 中的切向加速度当作总加速度。下一课将沿同样的对应，把动能和动量扩展到转动。