上一课建立了角量、力矩和转动惯量。接着看能量与动量：把刚体每一小块的运动相加，熟悉的平动关系就能写成转动形式。
1. Rotational kinetic energy
刚体各质量元以 \(v_i=r_i\omega\) 运动，把各自的动能相加得到rotational kinetic energy 转动动能：
\[K_{\mathrm{rot}}=\frac12I\omega^2.\]
它与 \(K=\tfrac12mv^2\) 的形式相似，\(I\) 表达质量分布，\(\omega\) 表达转动快慢。若刚体的质心也在运动，应包含平动与绕质心的转动：
\[K=\frac12Mv_{\mathrm{cm}}^2+\frac12I_{\mathrm{cm}}\omega^2.\]
不能把全部运动都算成平动，再加同一部分的转动而重复计数。力矩通过角位移做功改变转动动能。像平动中的碰撞一样，转动中还需要保留方向信息的物理量。
2. Angular momentum
Angular momentum 角动量必须相对于指定点或轴来描述，单位为 \(\mathrm{kg\,m^2/s}\)。固定轴刚体的轴向角动量为
\[L=I\omega.\]
一个质点相对于指定点的角动量大小为 \(L=rmv\sin\phi=mv\ell\)，\(\ell\) 是该点到速度作用线的垂直距离。平面问题可用顺、逆时针符号表示轴向分量。同一个质点相对于不同点的角动量一般不同，不能省去参考点。接下来与动量单元一样，问系统什么时候守恒。
3. Conservation of angular momentum and collisions
当所选系统关于指定固定参考点的总外力矩为零，或外角冲量在短时间内可忽略时，angular momentum 角动量守恒：
\[L_i=L_f.\]
转动的人收拢手臂，\(I\) 减小，角速度增大，满足 \(I_i\omega_i=I_f\omega_f\)。转动动能不一定守恒，身体做功可以改变它。
物体撞上转盘并粘住时，也可因短碰撞外角冲量很小而使用角动量守恒，不能再自动假设动能守恒。选系统、选轴、比较初末状态，是这里与直线碰撞共通的逻辑。如果外力矩不能忽略，就需要写出它的累计效果。
4. Impulse-momentum theorem in rotational motion
Angular impulse 角冲量是力矩在时间上的累计。平均力矩形式为
\[J_{\mathrm{angular,ext}}=\tau_{\mathrm{ext,avg}}\Delta t=\Delta L.\]
\(\tau\)–\(t\) 图的有符号面积表示角动量变化；\(L\)–\(t\) 图的斜率表示外力矩。单位 \(\mathrm{N\,m\,s}\) 与角动量单位相同。若 \(I\) 不变，\(\Delta L/\Delta t=I\Delta\omega/\Delta t\)，就回到 \(\sum\tau=I\alpha\)。
因此零外力矩、角动量守恒和匀角速度是相关结论，但只有转动惯量不变时才能把最后两者直接联系起来。引力轨道提供了一个零力矩却有合力的例子。
5. Angular momentum in planetary motion
把中心天体作为参考点，引力沿径向，没有垂直力臂，所以它的力矩为零。理想中心力模型中，轨道物体的角动量守恒：
\[L=mrv_{\perp}=\text{constant}.\]
这里 \(v_{\perp}\) 是垂直于半径的速度分量。椭圆轨道在近心点走得快、远心点走得慢，因为这两点的速度恰好都与半径垂直，有 \(r_pv_p=r_av_a\)。这也连接到等时间扫过等面积的开普勒第二定律。
没有力矩并不等于没有力：引力仍改变速度方向。最后回到地面上的轮子，它把平动和转动同时联系起来。
6. Rolling without slipping
Rolling without slipping 无滑动滚动要求轮子与静止地面的接触点瞬时相对速度为零。因此
\[v_{\mathrm{cm}}=R|\omega|.\]
纯滚动还把相应的切向加速度联系起来。轮子既有质心平动动能，又有绕质心的转动动能；从同一高度滚下，质量分布不同的物体会把能量分配成不同的两部分。
理想刚性轮在固定地面上纯滚动时，静摩擦可以提供力矩，接触点却瞬时不移动，不能把它机械地记为 \(-f_k\ell\)。若实际滑动，就失去纯滚动约束，常有机械能耗散。下一单元重新看弹簧，把恢复力与能量相互转换组织成周期性的运动。
