Simple Harmonic Motion · AP Physics 1

拉开弹簧上的物体再放手，恢复力把它拉回平衡位置，惯性又让它越过这个位置。恢复与越过不断交替，于是一个完整的振动故事同时需要牛顿定律与能量。

1. Mass-spring oscillator thought experiment

取水平理想弹簧、质量 $$m$$ 的物体和无摩擦表面，平衡位置为 $$x=0$$ 。拉到 $$x=A$$ 后由静止释放，弹力朝负方向，物体加速靠近平衡位置；到 $$x=0$$ 时力为零、速率最大，却不会立刻停止。继续到另一侧后，弹力反向，使物体减速、停止，再返回。

Amplitude 振幅 $$A$$ 是离平衡位置的最大位移大小。平衡点是合力为零的位置，并不总等于弹簧自然长度；竖直弹簧的平衡位置已经因重力而下移。这个来回运动能否用一种共同规律描述？

以平衡位置为原点，理想弹簧振子的合力是 $$-kx$$ ，所以

$a_x=-\frac{k}{m}x=-\omega^2x.$

这是一种simple harmonic motion 简谐运动：加速度与离平衡位置的位移成正比且方向相反。周期和频率为

$\begin{gathered} T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}, \\ f=\frac1T, \\ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}. \end{gathered}$

这里 $\omega$ 是相位变化的角频率，物体本身不一定绕圈。由最大位移处释放，可用 $x=A\cos\omega t$ 描述。位移最大时速率为零、加速度大小最大；经过平衡点时速率最大、加速度为零。理想线性模型中，改变振幅不会改变周期，质量越大周期越长，弹簧越硬周期越短。这些现象也能由能量解释。

对水平、无阻尼的理想振子，

$E=\frac12mv^2+\frac12kx^2=\frac12kA^2.$

转折点的能量全在弹性势能里，平衡点的能量全在动能里；其他位置两者共同组成不变的总能量。由此得到

$\begin{gathered} |v|=\sqrt{\frac{k}{m}(A^2-x^2)}, \\ v_{\max}=\omega A. \end{gathered}$

同一位置可以有向左、向右两种速度，能量只能给出速率，还要结合运动阶段判断方向。振幅加倍，能量变为四倍，最大速率加倍，周期不变。另一种常见振子用重力提供恢复作用。

Simple pendulum 单摆模型用质量集中在摆球、绳长为 $\ell$ 、阻力可忽略的系统。沿圆弧切向，恢复力为 $-mg\sin\theta$ ，张力沿绳，不是切向恢复力。

小角度时，弧度表示的 $\sin\theta\approx\theta$ ，再用弧长 $s=\ell\theta$ ，得到 $F_t\approx-(mg/\ell)s$ ，与弹簧振子的线性恢复关系相同。因此

$T=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}.$

小振幅单摆的周期与质量无关，长摆周期更长； $$T^2$$ – $\ell$ 图斜率为 $4\pi^2/g$ 。振幅较大时不能继续使用小角度近似，周期会偏离这个式子。弹簧与摆看似不同，成立条件却能归结为同一句话。

简谐运动的核心条件是关于平衡位置的线性恢复关系：

$a_x=-\omega^2x.$

只有“有恢复力”或“周期运动”还不够。恢复方向必须指向平衡位置，大小与位移大小成正比；在理想模型中还需忽略明显阻尼。稳定平衡点附近，势能曲线常可近似为开口向上的抛物线，这让很多不同系统在小振幅时具有相同的简谐形式。

现实中阻力使能量逐渐耗散、振幅衰减；周期性外力也可能持续输入能量。这些是下一步拓展，不能混入无阻尼公式的条件。最后一个单元把视野从单个固体转向液体与气体，牛顿定律和守恒关系仍然是主线。