U07 PSL

Problem Solving Lesson 从弹簧的平衡位置出发，把图像、周期和能量连接起来。可回顾 Lesson 01：简谐运动。每道题先写坐标从哪里量、初态在哪里，再选择回复力、周期或能量。近地新数值题取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)；单摆的周期式使用小角近似。

1. 往复运动还需要检查回复模型

简谐运动（simple harmonic motion, SHM）的关键是：关于稳定平衡点的合力与位移成正比，并指回平衡点。

\[F_{\mathrm{net}}=-kq,\qquad a=-\frac{k}{m}q=-\omega^2q.\]

\(q\) 是相对平衡点的带符号位移，\(k>0\)。右侧的物体加速度向左，左侧向右；当前速度方向要另外判断。正在靠近平衡点时，加速度可与速度同向，使物体加速。

例题：位置与速度分别判断。 水平理想弹簧 \(k=90\,\mathrm{N/m}\)、\(m=3.0\,\mathrm{kg}\)，取右为正。物体在平衡右侧 \(0.10\,\mathrm m\)，正向左运动。

弹力 \(F=-90(0.10)=-9.0\,\mathrm N\)，加速度 \(a=-3.0\,\mathrm{m/s^2}\)，两者向左。加速度方向由位置决定；此时它与速度同向，所以速率正在增大。

仅有周期性往返不足以判定 SHM。两墙间匀速弹跳的物体也能重复运动，碰墙时受冲击力，却不满足连续的线性回复关系。沿斜轨向最低点回复，也需进一步检查合力是否与平衡位移成正比，才能使用简谐周期式。

2. 竖直弹簧先分清三种距离

自然长度 \(L_0\)、载重后的平衡长度 \(L_{\mathrm{eq}}\)、两端点距平衡点的振幅 \(A\) 各有不同用途。挂簧静态伸长为

\[\delta_{\mathrm{eq}}=\frac{mg}{k},\qquad L_{\mathrm{eq}}=L_0+\delta_{\mathrm{eq}}.\]

取向下为正，振动坐标 \(q=L-L_{\mathrm{eq}}\)。弹力与重力合并后，忽略阻力时仍有 \(a=-kq/m\)。

例题：弹簧总长不是振幅。 \(L_0=0.25\,\mathrm m\)、\(k=80\,\mathrm{N/m}\)、\(m=0.80\,\mathrm{kg}\)。平衡伸长 \(0.10\,\mathrm m\)，所以 \(L_{\mathrm{eq}}=0.35\,\mathrm m\)。某刻 \(L=0.39\,\mathrm m\)：

\[q=0.39-0.35=+0.04\,\mathrm m,\qquad a=-\frac{80(0.04)}{0.80}=-4.0\,\mathrm{m/s^2}.\]

加速度向上。此刻裸弹性势能（elastic potential energy）仍用相对自然长的形变量 \(\delta=0.39-0.25=0.14\,\mathrm m\)；相对平衡位移只有 \(0.04\,\mathrm m\)。两者不能放进同一个公式互换。

对立在地面的压缩弹簧，平衡总长为 \(L_0-mg/k\)。重力同样移动平衡位置，不能只凭“竖直”就总给长度加号。

3. 弹簧周期按质量刚度比开平方

理想轻弹簧的周期（period）、频率（frequency）与角频率为

\[T_s=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\qquad f_s=\frac1{T_s},\qquad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=2\pi f_s.\]

\(T\) 的单位是秒，\(f\) 是赫兹，\(\omega\) 是弧度每秒。幅值系数与函数里的角频率分开识别。

例题：两个参数一起变。 质量变为两倍、\(k\) 变为八倍：

\[\frac{T_2}{T_1}=\sqrt{\frac28}=\frac12,\qquad \frac{f_2}{f_1}=2.\]

在同一个理想线性模型中，改变振幅不改变周期；保持 \(m,k\) 后改变均匀重力，只会改变竖直平衡位置，周期也不变。明显阻尼、弹簧质量或超出线性范围时，需重新检查模型。

已测周期但未知刚度，反解为 \(k=4\pi^2m/T^2\)，还需要振动质量。例题：水平振子测量。 天平测 \(m=0.60\,\mathrm{kg}\)，周期 \(T=0.20\pi\,\mathrm s\)，得到 \(k=60\,\mathrm{N/m}\)。振幅不能代替缺失的质量测量。

4. 传感器图先认坐标轴

位置—时间图的局部切线斜率给速度，速率是其绝对值。速度—时间图的局部切线斜率给加速度，面积才给位移。读数有噪声时，用整体最佳拟合曲线；每个小锯齿不表示一个新周期。

例题：同样是斜率，物理量不同。 位置图某刻切线斜率 \(-0.50\,\mathrm{m/s}\)，对应速度向负方向、速率 \(0.50\,\mathrm{m/s}\)。速度图某刻切线斜率 \(-3.0\,\mathrm{m/s^2}\)，对应加速度向负方向。

读完整周期需找相同相位、相同运动方向的重复点。相邻正峰在 \(0.15\) 与 \(1.05\,\mathrm s\)，得到 \(T=0.90\,\mathrm s\)，\(f=10/9\approx1.11\,\mathrm{Hz}\)。相邻正峰到负峰的 \(0.45\,\mathrm s\) 只有半周期。

只问一个短区间的路程时，先检查区间内有没有转向。没有转向才可直接取两端位置差的绝对值；不能因为全程是振动，就在每个区间额外加一个往返。

5. 初态决定相位，零速度不等于零加速度

从正端点静止释放时，初条件 \(q(0)=A\)、\(v(0)=0\) 对应

\[q(t)=A\cos(\omega t).\]

首次过平衡为 \(T/4\)，首次到负端点为 \(T/2\)。若初态在平衡点或已有速度，先重新定相位，不能直接沿用这两个时刻。

例题： 完整周期 \(1.2\,\mathrm s\)，从正端点静止释放，首次过平衡 \(0.30\,\mathrm s\)，到负端点 \(0.60\,\mathrm s\)。端点速度零，回复加速度大小却最大。

若问加速度大小，要把方向信息与大小分开：

\[a(t)=-\omega^2A\cos(\omega t),\qquad |a(t)|=\omega^2A|\cos(\omega t)|.\]

大小不能因余弦变负而成为负值。

6. 同一个时刻列同一个能量账

理想水平弹簧振子从端点静止释放，总振动能为

\[E=\frac12kA^2=K+U_s,\qquad K(q)=\frac12k(A^2-q^2),\qquad v_{\max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}.\]

最大 \(K\) 与最大 \(U_s\) 都等于 \(E\)，却发生在不同时刻。不能把两个最大值相加。

例题：能量与速率分别求。 \(k=160\,\mathrm{N/m}\)、\(m=0.40\,\mathrm{kg}\)、\(A=0.15\,\mathrm m\)。端点储能 \(E=1.8\,\mathrm J\)，过平衡的最大速率 \(v_{\max}=3.0\,\mathrm{m/s}\)。位移 \(q=A/2=0.075\,\mathrm m\) 时，\(U_s=E/4\)，\(K=3E/4=1.35\,\mathrm J\)。

同 \(k,A\) 而质量加倍，最大动能仍 \(1.8\,\mathrm J\)，最大速率减为原 \(1/\sqrt2\)。相等动能不必对应相等速率。

竖直弹簧需把重力和弹性势能合在一起。若 \(q\) 从载重平衡点量，可写有效振动能 \(E_{\mathrm{osc}}=K+kq^2/2\)；这里 \(kq^2/2\) 表示相对平衡最低值的总势能差，不能把它称为裸弹性储能。最大 \(K\) 仍在载重平衡点。

7. 动能时间图每半周期重复

从端点静止释放，动能初为零，每次过平衡达到最大，再到另一端归零。位移完成一个周期，动能已有两个峰。

\[K(t)=E\sin^2(\omega t),\qquad T_K=\frac T2.\]

例题： \(E=1.8\,\mathrm J\)、\(T=1.0\,\mathrm s\)，在 \(0\)、\(0.25\)、\(0.50\)、\(0.75\)、\(1.0\,\mathrm s\)，动能依次是零、\(1.8\)、零、\(1.8\)、零焦耳，重复间隔 \(0.50\,\mathrm s\)。

动能是速率的平方关系，始终非负。方向可反转，动能不会随之变负。

8. 峰值降低需检查耗散与系统边界

物块—弹簧系统的内部 \(K,U_s\) 交换不会自动损失总机械能。摩擦或空气阻力向周围耗散能量，才会降低后续振幅和最大速率。

例题：两次最大速率。 同质量振子由 \(0.90\) 降至 \(0.60\,\mathrm{m/s}\)，峰动能比为

\[\frac{K_{\max,2}}{K_{\max,1}} =\left(\frac{0.60}{0.90}\right)^2=\frac49.\]

只含物块时，机械能为其 \(K\)，随往复运动出现非负峰；有耗散时峰逐渐降低。含物块和弹簧时，\(K+U_s\) 总体下降。下降趋势本身不能确定精确的指数衰减律，需另给阻力模型。

9. 单摆周期与有限角度能量分开使用

轻绳、近似质点摆球和小角摆动下，

\[T_p\simeq2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}.\]

摆长 \(\ell\) 从悬点量到摆球中心。改变摆球质量不改变这个周期；缩短摆长增加频率，增大当地 \(g\) 缩短周期。较大释放角不能直接使用小角周期式当精确值。

能量求速率不需要把释放角当小角。忽略阻力、理想张力无功时，释放角 \(\theta_0\) 从竖直量，

\[h=\ell(1-\cos\theta_0),\qquad v_{\max}=\sqrt{2gh},\qquad K_{\max}=mgh.\]

例题：先控制几何，再换质量。 \(\ell=0.90\,\mathrm m\)、\(m=0.12\,\mathrm{kg}\)、\(\cos\theta_0=0.995\)。小角周期约 \(0.60\pi\approx1.885\,\mathrm s\)；落差 \(0.0045\,\mathrm m\)，最大速率 \(0.30\,\mathrm{m/s}\)，最大动能 \(0.0054\,\mathrm J\)。

换为 \(0.60\,\mathrm{kg}\)、其余条件相同，周期和同位置速率、加速度都相同，最大动能变五倍，为 \(0.027\,\mathrm J\)。受力随质量增加，除质量后的加速度依然相同。

10. 两种振子的周期各自列式

\[T_s=2\pi\sqrt{m_s/k},\qquad T_p\simeq2\pi\sqrt{\ell/g}.\]

减小弹簧振动质量会缩短 \(T_s\)，减小摆球质量不改变 \(T_p\)。增大 \(g\) 会缩短 \(T_p\)，不改变理想弹簧的 \(T_s\)。

例题：较慢的弹簧振子。 \(T_s=1.8\,\mathrm s\)、\(T_p=1.2\,\mathrm s\)，保持其他参数，只改弹簧质量。令

\[\sqrt{\frac{m_{s,f}}{m_{s,i}}}=\frac{1.2}{1.8}=\frac23, \qquad \frac{m_{s,f}}{m_{s,i}}=\frac49.\]

同时减小摆球质量不影响这次匹配。题目问某种改变“可能使周期更接近”时，判断适量变化能否靠近即可；不表示任意大的改变量都会更接近。

星球给质量 \(M\) 与半径 \(R\) 时，先用表面 \(g=GM/R^2\)。相同半径、质量四倍的星球有四倍 \(g\)，同摆长的小角周期减半；同 \(m_s,k\) 的理想弹簧周期保持。

11. 先独立尝试，再展开核对

每题先写平衡点、初态与所问量，做完再展开。遇到错误，回到对应的坐标、比例或能量动作重新算。

练习 1。 竖直挂簧振子的两端点相对自然长度向下伸长分别 \(0.06\) 与 \(0.14\,\mathrm m\)，质量 \(0.30\,\mathrm{kg}\)，忽略阻力。求静态伸长、振幅、\(k\) 和周期。

练习 2。 理想弹簧质量改为四倍、\(k\) 改为九倍。求新周期与原周期之比；若另仅改变振幅，周期是否改变？

练习 3。 某位置图在一段无转向区间内由 \(+0.015\) 变为 \(-0.025\,\mathrm m\)。求路程；另一时刻局部切线斜率 \(-0.40\,\mathrm{m/s}\)，求该时刻速率。图相邻正峰在 \(0.05\) 与 \(0.65\,\mathrm s\)，求频率。

练习 4。 水平理想振子 \(k=180\,\mathrm{N/m}\)、\(m=0.50\,\mathrm{kg}\)、\(A=0.10\,\mathrm m\)，从端点静止释放。求总能量、最大速率和 \(q=0.06\,\mathrm m\) 时的动能。

练习 5。 理想振子完整周期 \(0.60\,\mathrm s\)，从端点静止释放。第一周期内动能在哪两个时刻最大？动能自身的重复周期是多少？

练习 6。 小角单摆长 \(1.6\,\mathrm m\)、当地 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求周期。改到 \(g\) 四倍处、摆长不变，周期怎样？同样搬迁的理想弹簧振子保持 \(m,k\)，其周期怎样？

12. 选学：组合弹簧与施加力图

并联的弹簧形变相同，弹力相加，\(k_{\parallel}=k_1+k_2\)。串联的理想轻弹簧承受相同拉力，各形变相加，\(1/k_{\mathrm{series}}=1/k_1+1/k_2\)。

例题：两根各 \(60\,\mathrm{N/m}\)。 并联等效 \(120\,\mathrm{N/m}\)，串联等效 \(30\,\mathrm{N/m}\)。各挂 \(0.90\,\mathrm{kg}\)，系统总伸长分别 \(0.075\)、\(0.30\,\mathrm m\)；串联每根伸长 \(0.15\,\mathrm m\)。

准静态施加力对总长的斜率是正 \(k\)，横截距是自然长度。经过 \((0.30\,\mathrm m,0\,\mathrm N)\) 与 \((0.42\,\mathrm m,9\,\mathrm N)\) 的直线有 \(k=75\,\mathrm{N/m}\)、\(L_0=0.30\,\mathrm m\)。若改画带符号回复力对同向形变量，斜率变为 \(-k\)。

选学练习。 两根理想轻弹簧刚度分别 \(40\)、\(80\,\mathrm{N/m}\)，求并联、串联等效刚度；各挂 \(0.60\,\mathrm{kg}\)，求系统总伸长。

13. 选学：单摆实验先线性化

在同一个当地 \(g\) 和小角条件下，改变摆长并测完整周期：

\[T_p^2=\frac{4\pi^2}{g}\ell.\]

横轴 \(\ell\)、纵轴 \(T^2\) 得到直线，斜率 \(s=4\pi^2/g\)，由此 \(g=4\pi^2/s\)。不是直接画 \(T\) 对 \(\ell\) 就用这个斜率。

例题： 测得斜率 \(4\pi^2/9\,\mathrm{s^2/m}\)，反求 \(g=9.0\,\mathrm{m/s^2}\)。若交换横纵轴，斜率是 \(g/(4\pi^2)\)，单位也相应变为 \(\mathrm{m/s^2}\)。多次测完整周期可减小计时读数影响，摆长仍从悬点到摆球中心量。

14. 选学：一般时刻先算弧度相位

从正端点静止释放可用 \(q=A\cos(\sqrt{k/m}\,t)\)。先求 \(\omega\)，再算相位 \(\omega t\)；这个自变量是弧度，不能用角度模式计算。

例题： \(m=1.0\,\mathrm{kg}\)、\(k=25\,\mathrm{N/m}\)、\(A=0.24\,\mathrm m\)。\(\omega=5.0\,\mathrm{rad/s}\)，在 \(t=0.60\,\mathrm s\)，

\[q=0.24\cos3\approx-0.2376\,\mathrm m.\]

位置在负侧，离平衡距离 \(|q|\approx0.2376\,\mathrm m\)。任意给定时刻的相位不必恰好是 \(T/4\) 或 \(T/2\)。

选学练习。 理想水平振子 \(m=1.0\,\mathrm{kg}\)、\(k=36\,\mathrm{N/m}\)、\(A=0.18\,\mathrm m\)，从正端点静止释放。求 \(0.40\,\mathrm s\) 时的带符号位置与离平衡距离。