Problem Solving Lesson 从“谁是源、谁是测试对象”开始，连接矢量合成、能量账和导体操作。可先回顾 Lesson 01：电荷与电场、Lesson 02：电势与势能 和 Lesson 03：带电过程。点电荷例题取 \(k=9.0\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}\)，源固定，测试电荷不显著改变外源分布。
1. 先确定题目问的是哪一种量
两点电荷力大小 \(F=k|Qq|/r^2\)；外源产生的场 \(\vec E\) 由源决定，测试对象受力为 \(\vec F=q\vec E\)。取无穷远零势，点源电势 \(V=kQ/r\)，测试对象的外场势能为 \(U=qV\)。
同一位置更换测试电荷，固定外源的 \(E,V\) 不变，\(F,U\) 则含测试电荷。负测试电荷使整个力矢量反向，不能只改一个分量。力与场的大小非负，坐标分量可以为负。
点源场和力随距离平方反比，点源电势随距离一次反比；理想大平行板中央是另一种匀强模型，不因靠近一块板就套用点源公式。球外距离也从球心量，不从表面量。
2. 对同一目标逐源定向再合成
例题：两源对正目标施力。 \(+1.0\,\mu\mathrm C\) 目标位于原点。\(+2.0\,\mu\mathrm C\) 源在左侧 \(0.30\,\mathrm m\)，\(-3.0\,\mu\mathrm C\) 源在上方 \(0.30\,\mathrm m\)。
左侧正源排斥目标，\(F_x=+0.20\,\mathrm N\)；上方负源吸引目标，\(F_y=+0.30\,\mathrm N\)。
\[F_x=\frac{9\times10^9(2\times10^{-6})(1\times10^{-6})}{0.30^2}, \qquad F_y=\frac{9\times10^9(3\times10^{-6})(1\times10^{-6})}{0.30^2}.\]
合力大小为 \(\sqrt{0.20^2+0.30^2}\approx0.361\,\mathrm N\)，向右上，方向满足 \(\tan\theta=0.30/0.20\)。它不是两个大小直接相加得到的 \(0.50\,\mathrm N\)。
先为每项写距离、方向与分量。夹角若从竖直量，竖直分量使用余弦；不能默认题图所有角都从水平量起。微库仑换成库仑，再统一代入。
3. 电势是标量，电场是矢量
同一观察点的电势 \(V=\sum kQ_i/r_i\) 带源电荷符号直接相加；电场 \(\vec E=\sum\vec E_i\) 则必须先定方向。
例如等量异号源，左正右负，中点距两源相同。中点电势两项抵消为零，电场却同向右而不为零。电势的零值也依赖参考零点，不能据此推出受力为零。
等势线图上，电场垂直当地等势线，并向电势降低方向。比较线密处是否场强较大，还要确认相邻线的势差相同；粗示意图只能支持适当的定性比较。
4. 整个源系统势能每一对只计一次
三个源的相互作用能是
\[U=U_{12}+U_{13}+U_{23} =\sum_{i<j}\frac{kq_iq_j}{r_{ij}}.\]
例题：移走一个源。 已知 \(U_{12}=+2B\)、\(U_{13}=-3B\)、\(U_{23}=-4B\)，\(B>0\)。移走源二至无穷远，源一和三保持不动。
初 \(U_i=-5B\)，末只剩 \(U_{13}\)，所以 \(U_f=-3B\)，\(U_f/U_i=3/5\)，\(\Delta U=+2B\)。末势能变得较不负，实际上增加了。
移走二只删除包含二的相互作用，仍存在的一、三不能删除。整个源系统的 \(U\) 也不是三源在某观察点产生的 \(V\)；后者单位是伏特，前者是焦耳。
5. 能量变化先终减初，再判断谁做功
同一测试电荷在固定外源中移动：
\[\Delta U=q(V_f-V_i),\qquad W_e=-\Delta U.\]
只有电力做功时，\(\Delta K=-\Delta U\)。若有重力、摩擦或外力，也需计入其功；匀速搬运且其他非电力不做功时，外力功才等于 \(\Delta U\)。
例题：负电荷移向高势。 \(q=-4.0\,\mathrm{nC}\)，已知 \(V_f-V_i=+6.0\,\mathrm V\)，只有电力做功。\(\Delta U=-24\,\mathrm{nJ}\)，\(\Delta K=+24\,\mathrm{nJ}\)。若初动能为 \(10\,\mathrm{nJ}\)，末动能为 \(34\,\mathrm{nJ}\)，不是仅写增加的二十四。
“高势”对正、负电荷的能量含义不同。负电荷乘正势差得到负的势能变化，表示动能可增加；动能本身仍不能为负。
6. 板间场用完整势差配完整法向间距
理想大板中央、忽略边缘效应，\(E=|V_h-V_l|/d\)，\(d\) 是法向全板间距。位置电势则按沿法线的距离插值。
例题：板间某点电势。 上板 \(+9\,\mathrm V\)，下板 \(-3\,\mathrm V\)，间距六厘米。点 P 距下板 \(1.5\,\mathrm{cm}\)，沿法线量。
\[E=\frac{9-(-3)}{0.060}=200\,\mathrm{V/m}, \qquad V_P=-3+\frac{1.5}{6}[9-(-3)]=0\,\mathrm V.\]
场向下，P 点零势并不意味着零场。求场强使用全势差与全距离，求 P 点电势则还要加上下板的参考电势。
匀强场任意位移有 \(\Delta V=-\vec E\cdot\Delta\vec r\)。例如 \(\vec E=(300,0)\,\mathrm{V/m}\)，位移 \((-0.020,+0.040)\,\mathrm m\)，势差为 \(+6\,\mathrm V\)；垂直场的位移不贡献势差，不能使用整段路程。
7. 导体操作逐步记录电子通路与净量
静电平衡时导体材料内电场为零，连通导体同电势。孤立部分的总电荷守恒；接地则能与地球交换电子，约束相对地球的电势，不直接约束净电荷为零。
例题：相同球依次接触。 相同金属球 A、B、C 远离外部电荷，初净量为 \(+8Q,-2Q,0\)。先 A、B 接触分开，再 B、C 接触分开。
第一次总量 \(6Q\) 对称等分，状态为 \((3,3,0)Q\)。第二次使用 B 当前的 \(3Q\)，得到最终 \((3,1.5,1.5)Q\)，整体仍为 \(6Q\)。不同大小球接触同电势，却不能直接认为同电荷。
再看感应与接地。 负棒靠近接地中性球、不接触，电子从球流向地球；棒仍在时先断地线，再撤棒，可保留球的净正电荷。若先撤棒而地线还连着，电子可以回流。
两球接触时被外源感应，先分离再撤源与先撤源再分离也不同。每步写“谁仍连通、外源是否仍在、哪部分孤立”，不要用一个最终符号代替操作顺序。
8. 自主练习逐项区别物理量
练习 1：负测试电荷。 固定外场 \(\vec E=(-3,+4)\,\mathrm{N/C}\)，测试 \(q=-2\,\mathrm C\)。求力分量、大小及象限。
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\(\vec F=q\vec E=(+6,-8)\,\mathrm N\)，大小十牛顿，右下象限。负号作用于整个矢量，两分量都反向。
练习 2：接触后的力。 相同两球远离外源，初为 \(+7Q,-Q\)，相距 \(d\)。接触分开后恢复原距离。求末净量、末/初力大小比与相互作用。
展开练习 2 解析
总量 \(6Q\)，末各为 \(+3Q\)。力大小由乘积绝对值决定，末/初为 \(9/7\)；初吸引、末排斥。力的大小比与净量符号分别判断。
练习 3：势能变化与末动能。 正测试电荷 \(q\)，固定外源，只电力做功，由 \(V_i=4V_*\) 移到 \(V_f=V_*\)，\(V_*>0\)，初动能 \(K_0\)。写势能变化、动能变化与末动能。
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\(\Delta U=q(V_*-4V_*)=-3qV_*\)，\(\Delta K=+3qV_*\)，\(K_f=K_0+3qV_*\)。末电势、末势能和势能变化是不同量。
练习 4：接地顺序。 正棒靠近中性接地金属球、不接触。电子往哪里流？若要撤棒后保留球净电荷，先做什么，球最后什么符号？
展开练习 4 解析
电子由地球流入球。棒仍在时先断地线，随后移远棒，球保留净负。地线仍连着就先撤棒，会允许回流，不能沿用同一结论。
做 workbook 时，先标源、目标、距离与参考电势，再明确所求是矢量、标量、变化量还是系统相互作用能。导体题则逐步写状态，而不只凭最后一张示意图猜净量。
9. 选学导体腔、场中运动与量子化
闭合金属壳自身净电荷 \(-2Q\)，腔内独立电荷 \(+3Q\)，静电平衡要求内表面总量 \(-3Q\)，外表面为 \(+Q\)。金属材料内场为零，含独立电荷的腔内却不处处零场；不能把“导体内”与“空腔内”混为一处。
带电物体在电场中运动，先求所有力的合加速度，再用运动方程。例如质量 \(m\)，初向上速率八，向上电力 \(mg/2\)、重力向下，\(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，净加速度向下五，最高点高度为 \(8^2/[2(5)]=6.4\,\mathrm m\)。这一式需要恒定净加速度且确有有限最高点。
孤立物体净量是整数个基本电荷；测量 \(q/e=5.9\pm0.2\) 的区间包含六，因此与量子化相容。不能只见中心值非整数就判不相容。
已给某直线路径的电力功 \(W\) 和长度 \(d\)，\(W/d\) 给沿路平均力分量，并不证明每一点力相同。非匀强区间的 \(-\Delta V/\Delta x\) 也是平均场分量，不能自动当成某点场大小。