Problem Solving Lesson 把光路、传播量与成像量分开判断。可先回顾 Lesson 01：反射与折射 和 Lesson 02：镜与透镜成像。下文使用几何光学、近轴薄透镜和球面镜模型，距离沿各器件的局部光轴测量。
1. 角度先从当地法线量起
反射角等于入射角，两个角都从该界面法线起算。光线与界面成 \(20^\circ\) 时，入射角是 \(70^\circ\)，不能直接把 \(20^\circ\) 代入折射定律。
\[n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.\]
例题：从空气入玻璃。 空气折射率取一，玻璃折射率为 \(1.50\)，入射角 \(30^\circ\)。于是
\[\sin\theta_2=\frac{1}{1.50}\sin30^\circ=\frac13, \qquad \theta_2\approx19.5^\circ.\]
折射后靠近法线。若后一个界面倾斜，应在新界面重画法线；前一个折射角不自动成为后一个入射角。平行平板的两个外部介质相同时，出射光与入射光平行，但通常存在横向位移。
2. 频率由光源决定，速度与波长随介质变
静止介质的静止界面不改变透射光的频率。折射率 \(n=c/v\)，而 \(v=f\lambda\)；因此比较传播量应先固定频率。
例题：进入介质后的波长。 光在真空波长为 \(600\,\mathrm{nm}\)，进入折射率 \(1.50\) 的介质。
\[f=\frac{3.00\times10^8}{600\times10^{-9}} =5.00\times10^{14}\,\mathrm{Hz}, \quad v=2.00\times10^8\,\mathrm{m/s}, \quad \lambda=400\,\mathrm{nm}.\]
三个量中，频率保持原值。折射率是指定波长与介质条件下的量；若题目讨论色散，不同频率可以对应不同 \(n\)，不能强行使用一个统一折射率。
3. 全反射需要从高折射率走向低折射率
只有 \(n_1>n_2\) 时，才有临界角
\[\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1}.\]
例题：玻璃向空气出射。 \(n_1=1.50,n_2=1.00\)，得 \(\theta_c\approx41.8^\circ\)。入射角 \(50^\circ\) 大于临界角，不能得到普通传播折射光；入射角 \(30^\circ\) 小于临界角，仍有折射，\(\sin\theta_2=0.75\)，所以 \(\theta_2\approx48.6^\circ\)。
若算出 \(\sin\theta_2>1\)，先检查角度和传播方向，再判断全反射；不要给反正弦一个不存在的实数值。恰好临界时，理想折射方向沿界面，与严格超过临界角应区分。
4. 先识别器件，再给焦距符号
下文采用“实物距正、实像距正”的约定：实物 \(d_o>0\)，实像 \(d_i>0\)，虚像 \(d_i<0\)；会聚器件 \(f>0\)，发散器件 \(f<0\)。像高与物高均保留上下方向。
\[\frac1f=\frac1{d_o}+\frac1{d_i}, \qquad m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o}.\]
在常见空气环境中，凹面镜会聚、凸面镜发散；中心厚的普通玻璃透镜会聚、中心薄的透镜发散。若透镜周围介质改变，则应按光线实际会聚或发散来判断，不能只看外形。
球面镜近轴焦距大小为曲率半径的一半；薄透镜的焦距不能也直接写成某一个表面的 \(R/2\)。
5. 成像结果同时交代位置、正倒和大小
例题：物在会聚透镜两倍焦距以外。 \(f=12\,\mathrm{cm},d_o=36\,\mathrm{cm}\)。
\[\frac1{d_i}=\frac1{12}-\frac1{36}=\frac1{18}, \quad d_i=18\,\mathrm{cm}, \quad m=-\frac12.\]
实像在透镜另一侧，倒立、高度为原来一半。像距的正负负责实虚，放大率的正负负责正倒；\(|m|\) 才负责大小。
镜子使用同样的代数约定时，实像位于镜前、虚像位于镜后；不能把透镜的“两侧”语言原封不动套到反射镜。
6. 物在焦内时，负像距有明确物理意义
例题：同一会聚透镜，物距变为 \(8\,\mathrm{cm}\)。
\[\frac1{d_i}=\frac1{12}-\frac18=-\frac1{24}, \quad d_i=-24\,\mathrm{cm}, \quad m=+3.\]
虚像在物体同侧，正立、放大三倍。出射光实际发散，反向延长线相交；普通屏幕放在虚像处不能接到这个像。
再比较发散透镜。 \(f=-10\,\mathrm{cm},d_o=20\,\mathrm{cm}\)，得到 \(d_i=-20/3\,\mathrm{cm}\)、\(m=1/3\)，为正立缩小虚像。两种虚像不都放大。
物恰在会聚器件焦点时，理想近轴出射光平行，有限像距公式的分母为零；这一边界应单独说明。
7. 图线拟合要看倒数量与单位
将成像式改写为
\[\frac1{d_i}=-\frac1{d_o}+\frac1f.\]
例题：横轴为 \(1/d_o\)，纵轴为 \(1/d_i\)。 若距离用厘米，拟合纵截距为 \(0.050\,\mathrm{cm^{-1}}\)，则 \(f=20\,\mathrm{cm}\)，斜率应为无量纲的 \(-1\)。在 \(d_o=40\,\mathrm{cm}\) 时，两坐标都为 \(0.025\,\mathrm{cm^{-1}}\)，即 \(d_i=40\,\mathrm{cm}\)。
原始的 \(d_i\) 对 \(d_o\) 曲线不是这条直线。若互换坐标，先重新整理公式，再解释截距；不要只凭图线形状背读数。
8. 独立练习：先画方向与符号，再计算
练习 1。 光从空气进入 \(n=\sqrt2\) 的介质，入射角为 \(45^\circ\)。求折射角；若反向沿原路射出，说明能否全反射。
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\(\sin\theta_2=\sin45^\circ/\sqrt2=1/2\)，所以 \(\theta_2=30^\circ\)。反向入射角为 \(30^\circ\)，临界角为 \(45^\circ\)，低于临界角，沿原路径折射回空气。光路可逆需要沿原方向反行，不能另取一个更大的入射角。
练习 2。 真空中 \(450\,\mathrm{nm}\) 的光进入折射率 \(1.50\) 的介质。求介质波长，并比较单个光子的能量。
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\(\lambda=450/1.50=300\,\mathrm{nm}\)。静止界面透射的频率不变，因此光子能量 \(hf\) 不变；不能用介质中的短波长代入真空表达式 \(hc/\lambda\) 后误判光子增能。
练习 3。 凹面镜焦距 \(10\,\mathrm{cm}\)，实物距 \(30\,\mathrm{cm}\)，物高 \(4\,\mathrm{cm}\)。求像距、像高及像的性质。
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\(1/d_i=1/10-1/30=1/15\)，\(d_i=15\,\mathrm{cm}\)。\(m=-15/30=-1/2\)，所以 \(h_i=-2\,\mathrm{cm}\)。镜前的倒立缩小实像，普通屏幕可以接到。像高的负号说明上下反向，长度大小为 \(2\,\mathrm{cm}\)。
练习 4。 会聚透镜焦距 \(15\,\mathrm{cm}\)，实物距 \(10\,\mathrm{cm}\)。求像距和放大率，说明若在透镜另一侧移动屏幕，能否找到清晰像。
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\(1/d_i=1/15-1/10=-1/30\)，所以 \(d_i=-30\,\mathrm{cm}\)、\(m=+3\)。这是物侧的正立放大虚像；透镜另一侧没有可由普通屏幕接到的清晰实像。
9. 选学：视深、色散与连续两次成像
近法线从空气观察平面水面下物体时，视深近似为实际深度除以水折射率。这个近轴结果不适用于任意斜视角，也不能替代透镜成像式。
光通过棱镜时，每个界面都要重画法线。若已知某频率的折射率更大，在相同入射条件下应据折射定律追踪它；不同材料的色散规律应服从题目给定数据。
例题：两个薄透镜顺次成像。 第一片 \(f_1=10\,\mathrm{cm}\)，实物在其左侧 \(30\,\mathrm{cm}\)，第二片在其右侧 \(40\,\mathrm{cm}\)，\(f_2=20\,\mathrm{cm}\)。第一片成像于右侧 \(15\,\mathrm{cm}\)，故第二片的实物距为 \(40-15=25\,\mathrm{cm}\)。
\[d_{i2}=\left(\frac1{20}-\frac1{25}\right)^{-1}=100\,\mathrm{cm}, \quad m_1=-\frac12,\quad m_2=-4,\quad m_{\mathrm{total}}=+2.\]
最终像在第二片右侧 \(100\,\mathrm{cm}\)，相对最初物体正立放大两倍。若第一片本来要形成的像越过第二片，第二片收到的是会聚光束，就应处理虚物距；不能仍把两透镜间距当成第二物距。