电容把电场能储存在分离电荷中。电流改变电荷、电荷决定电压，回路方程因此成为一个时间演化方程，并与力学中的指数趋近形成联系。
1. Introduction to capacitors
Capacitor 电容器由两导体及其间的绝缘介质构成。简单充电过程中两极板带 \(+Q\) 和 \(-Q\)，整个电容器净电荷可以为零，但有电荷分离和电场能量。
Capacitance 电容定义为
\[C=\frac{Q}{|\Delta V|}.\]
单位 farad 法拉 \(\mathrm F=\mathrm{C/V}\)。在线性模型下，\(C\) 取决于几何和介质，不因某一次 \(Q\) 增大就自动变大：电压也相应增大。电容器不是让电子持续穿过绝缘层的通路，充电靠外电路把两板的电荷分开。
电容确定了电荷与电压的对应；接下来追踪充放电时，它们怎样随时间变化。
2. Charging and discharging capacitors
未充电电容器经电阻连接直流电源，刚接通时 \(V_C=0\)，电阻承受几乎全部电源电压，电流为 \(\mathcal E/R\)。电荷分离增加，\(V_C\) 增大，电阻电压与电流逐渐减小；很久后理想模型中 \(V_C\to\mathcal E\)、\(I\to0\)。
已充电电容器通过电阻放电时，储存的电场能量转为内能，电荷量、电压和电流大小逐渐减小。电容器的状态取决于先前有没有充电，不能在任意切换瞬间都把它当成零电压。
理想有限电流中，电容电压不能突变；“初始像导线、最后像断路”只是未充电电容在简单直流串联充电过程中的近似描述。下一部分看多只电容如何共享电压和电荷。
固定电容与被动正方向约定下，\(q=CV_C\)，\(I_C=dq/dt=C\,dV_C/dt\)。电压斜率决定电流，充电结束的水平电压对应零电流。
同一个电容器的时间变化已经明确，接下来再看多个电容器的连接。
3. Capacitors in series and parallel
并联电容器连接在相同两节点之间，电压相同，电荷量相加，因此 \(C_p=\sum C_i\)。简单串联、内部浮置节点最初净电荷为零时，各只电容器电荷大小相同，电压相加：
\[\begin{gathered} C_p=\sum_iC_i, \\ \frac1{C_s}=\sum_i\frac1{C_i}. \end{gathered}\]
串联与电阻组合的形式相反，因为共享的物理量不同。串联中较小电容需要更大电压来容纳相同电荷。复杂网络仍然先找节点，再判断结构。分离电荷需要做功，这些功储存在电场中。
4. Energy stored in a capacitor
充电开始时电压小，后来电压大，因此不能把整个过程的功写成末态电压乘总电荷。平均充电电压为末态的一半，得到
\[U_C=\frac12Q|\Delta V|=\frac12C(\Delta V)^2=\frac{Q^2}{2C}.\]
这三种形式用于不同控制条件。与电源保持连接时电压通常固定；断开、与外界绝缘时电荷固定。改变板距或放入介质时，先说明是哪种条件，再判断能量增减。
理想恒压源通过电阻给最初未充电电容充电，电源提供 \(C\mathcal E^2\)，电容最终储存 \(C\mathcal E^2/2\)，另一半在电阻耗散。能量没有全部留在电容。接下来从几何推断电容大小。
微小充电功 \(dU=V_Cdq=(q/C)dq\)，积分得到 \(U=q^2/(2C)\)。均匀线性介质中的电场能量密度为 \(u_E=\epsilon E^2/2\)，对空间积分同样得到电容储能。
储能由电荷、电压和电容共同决定；下一部分回到几何，解释电容为什么有这个值。
5. Geometric dependence of capacitance
平行板面积 \(A\)、板距 \(d\)，忽略边缘效应，介质均匀填满时
\[\begin{gathered} C=\kappa\epsilon_0\frac Ad, \\ E=\frac{|\Delta V|}{d}. \end{gathered}\]
面积增大使相同电压能分离更多电荷，板距增大使电容减小。介质极化降低给定自由电荷产生的场，使电容增大。
电容器保持与恒压源连接时，放入介质后 \(Q\) 增大、\(U_C\) 增大，电源参与能量交换；孤立、\(Q\) 不变时，电压降低、储能减小，差额可成为机械功等。改变几何不能只看某一个公式，而要连同边界条件一起判断。
非平行板几何中，可先从 Gauss 定律或叠加求场，再积分 \(\Delta V=-\int\vec E\cdot d\vec\ell\)，最后用 \(C=Q/|\Delta V|\)。同心球与同轴圆柱都沿这条顺序，而不是硬套 \(\epsilon A/d\)。
无论哪种几何，都先建立电荷与电压关系；下一部分再用电流把这关系连到时间。
6. RC circuit analysis
简单串联 RC 充电电路的回路方程为
\[\mathcal E-R\frac{dq}{dt}-\frac qC=0.\]
初始未充电时，解为 \(q=C\mathcal E(1-e^{-t/RC})\)，\(V_C=\mathcal E(1-e^{-t/RC})\)，\(I=(\mathcal E/R)e^{-t/RC}\)。更一般的初电压 \(V_0\) 给出 \(V_C=\mathcal E+(V_0-\mathcal E)e^{-t/RC}\)。
断开电源、只经电阻放电，\(R\dot q+q/C=0\)，所以 \(q=Q_0e^{-t/RC}\)。若电流正向仍定义为充电，放电电流为 \(I=-Q_0e^{-t/RC}/(RC)\)。
\[\tau_C=RC.\]
一时间常数后，与最终值的差约剩 \(37\%\)；充电约完成变化量的 \(63\%\)。电压与电荷共享指数，能量含平方，因此单纯放电中能量按 \(e^{-2t/RC}\) 下降。初始条件、最终状态和初始斜率共同检查方程。下一单元看电流产生的磁场及其能量。
