电荷之间的相互作用可以先写成力，再写成空间中的场。点电荷、球体、平行板与连续分布共享同一叠加原理，微积分把许多小贡献加在一起。
1. Introduction to electric charge
Electric charge 电荷 \(q\) 是物体的一种属性，有正、负两种，单位 coulomb 库仑 \(\mathrm C\)。质子的电荷为 \(+e\)，电子为 \(-e\)，其中 \(e=1.602\times10^{-19}\,\mathrm C\)。
普通物体净电荷可写成 \(q=ne\)，\(n\) 为整数。中性表示正负电荷总量相抵，不表示没有电荷。带电通常来自电子转移，不能把普通摩擦理解成把原子核中的质子搬走。
Conservation of charge 电荷守恒要求完整系统的总电荷不变；一个物体获得电荷，另一个物体或环境就有相应变化。正负号首先表示电荷类型，不是受力方向。
连续分布可以用线电荷密度 \(\lambda\)、面电荷密度 \(\sigma\) 或体电荷密度 \(\rho\) 表示，分别有 \(dq=\lambda\,d\ell\)、\(dq=\sigma\,dA\)、\(dq=\rho\,dV\)。这些是电荷分布模型，不表示电荷量子化失效。
受力由下一条定律结合几何决定。
2. Coulomb's law
真空中两静止点电荷的相互作用满足 Coulomb's law 库仑定律：
\[\begin{gathered} F_E=k\frac{|q_1q_2|}{r^2}, \\ k=\frac1{4\pi\epsilon_0}=8.99\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}. \end{gathered}\]
这个式子给出大小。方向沿两电荷连线，同号相斥、异号相吸，两个物体受力等大反向。多个电荷对某个电荷的作用按矢量相加，不能只把大小相加。
与万有引力相似，两者都有距离平方反比关系；电力可以吸引或排斥，引力在这里总是吸引。桌面的支持力、摩擦等接触作用，微观上也离不开电磁相互作用。
要把方向直接放入矢量式，令 \(\vec r_1-\vec r_2\) 从源电荷 \(q_2\) 指向受力电荷 \(q_1\)，则真空中
\[\vec F_{2\to1}=kq_1q_2\frac{\vec r_1-\vec r_2}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}.\]
电荷乘积的符号与位置矢量共同决定吸引或排斥。均匀线性介质模型可用 \(1/(4\pi\epsilon)\) 代替 \(k\)，复杂边界仍需要另外处理。
为了不每次指定一对电荷，接下来把源电荷的影响表示成场。
3. Electric field
Electric field 电场是单位正测试电荷受到的电力：
\[\begin{gathered} \vec E=\frac{\vec F_E}{q_0}, \\ \vec F_E=q\vec E. \end{gathered}\]
测试电荷应足够小，不显著改变源电荷分布。电场单位 \(\mathrm{N/C}\)，也可写 \(\mathrm{V/m}\)。正电荷受力沿场方向，负电荷受力反向；场是源电荷造成的环境属性，不由我们后来放入的测试电荷决定。
点电荷在距离 \(r\) 处的场大小为 \(E=k|Q|/r^2\)，正源向外、负源向内。多源的电场按矢量叠加。场线切线给出方向，疏密表示相对强弱；场线不是电荷一定走出的轨迹，也不是物质线。接下来把点源模型推广到球对称分布。
4. Electric field due to spherical charge distributions
球对称电荷分布在球外的电场，与净电荷集中在球心时相同：
\[\begin{gathered} E(r)=k\frac{|Q|}{r^2}, \\ r\ge R. \end{gathered}\]
\(r\) 从球心量起。半径改变而总电荷不变时，同一个外部位置的场不变；贴近表面时 \(E=k|Q|/R^2\)。这个结论依赖球对称，不能随便用于长杆或不规则带电物体。
球内的场要看电荷如何分布。静电平衡导体内部为零，均匀带电绝缘实心球内部则随 \(r\) 线性增大；“有球形边界”不足以判断内部场。
对总电荷 \(Q\) 均匀分布的绝缘实心球，内部为 \(\vec E=kQr\hat r/R^3\)，外部为 \(kQ\hat r/r^2\)。场在表面连续，中心为零；导体表面含面电荷时，法向场可以不连续。这些差别将在下一课由 Gauss 定律推出。
球对称场随位置变化，接下来换一个几何模型，看看怎样得到近似恒定的场。
5. Electric field between parallel plates
大而靠近的平行板带等量异号电荷时，在远离边缘的板间区域，电场近似均匀，从正板指向负板。忽略边缘效应，大小满足 \(E=|\Delta V|/d\)，其中 \(d\) 为板间距。
恒定电场使带电质点受到恒定电力：
\[\vec a=\frac{q\vec E}{m}.\]
这与近地面均匀重力场中的恒加速度形成对应，只是电力方向还取决于电荷符号。若有重力等其他力，需要一起算合力。单无限面电荷的两侧场大小为 \(|\sigma|/(2\epsilon_0)\)，两异号面的场在板间相加，给出 \(E=|\sigma|/\epsilon_0\)，理想无限板的外场相消。有限板只在中间区域接近此模型。最后把这些求和统一为叠加原理。
6. Principle of superposition
Superposition principle 叠加原理要求在同一观察点，先算各源电荷产生的电场矢量，再相加。连续分布就是无限多个小电荷贡献的积分：
\[\vec E(\vec r)=k\int\frac{\vec r-\vec r'}{|\vec r-\vec r'|^3}\,dq.\]
\(\vec r'\) 标记源的位置，\(\vec r\) 标记观察位置。画出 \(dq\)、距离与方向后，先利用对称性抵消分量，再积分。例如均匀带电圆环轴线上，横向分量相消，轴向场为 \(E_z=kQz/(R^2+z^2)^{3/2}\)；中心为零，远处退回点电荷场。
积分得到的结果要检查单位、方向、对称性与远场极限。许多高度对称分布还有更简洁的办法，下一课通过电通量建立 Gauss 定律。