逐个电荷积分可以求场，但对称性有时能让我们直接求出整体。先定义穿过一个面的电通量，再把闭合面的总通量与内部电荷联系起来。
1. Electric flux
Electric flux 电通量是电场穿过有方向的面的量。均匀场与平面有 \(\Phi_E=EA\cos\theta\)，\(\theta\) 从法线量起；非均匀场则把小面元贡献积累：
\[\Phi_E=\int_S\vec E\cdot d\vec A.\]
单位 \(\mathrm{N\,m^2/C}\)。面矢量垂直面，开面可选择法线，闭合面统一取向外法线。场向外穿出贡献正，向内穿入贡献负，平行面贡献零。通量是带符号的标量，不是电场强度，也不是“电荷正在穿过”。接下来围住一个点电荷。
2. Calculations of electric flux created by point charges
把点电荷 \(q\) 放在半径 \(r\) 的球面中心，场处处沿法线，大小 \(k|q|/r^2\)。用带符号的径向分量，闭合通量为
\[\Phi_E=\frac{kq}{r^2}(4\pi r^2)=\frac q{\epsilon_0}.\]
球面增大时场减弱、面积增大，两者正好抵消。把电荷移到闭合面内部其他位置，场分布改变，但总通量仍相同；形状也不必是球。
外部电荷的场线穿入又穿出，闭合面的净贡献为零；这不表示面上电场为零。对开面不能套“只看包围电荷”的结论。叠加所有点电荷贡献，就得到一般定律。
3. Gauss's law
Gauss's law 高斯定律在真空中为
\[\oint_S\vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\epsilon_0}.\]
\(Q_{\mathrm{enc}}\) 是闭合面内部的净电荷，只计内部，却不意味着面上的场只由内部电荷产生。\(Q_{\mathrm{enc}}=0\) 保证净通量为零，不保证每一点 \(\vec E=0\)。
定律对任何闭合面成立；只有适当对称性使场方向与大小足够明确时，它才方便直接求 \(E\)。把 \(E\) 从积分号中提出，需要证明积分面上相应场分量恒定。下一部分分别选择球、柱与薄盒。
4. Applications of Gauss's law
球对称分布选同心球面，\(E_r4\pi r^2=Q_{\mathrm{enc}}/\epsilon_0\)。均匀实心球内部包围电荷随 \(r^3\) 增加，因此场随 \(r\) 增加；空球壳内包围电荷为零，结合球对称性才得到场为零。
无限长均匀线电荷选同轴圆柱，端面无通量、侧面场大小恒定，于是
\[E=\frac{|\lambda|}{2\pi\epsilon_0r}.\]
无限均匀平面选跨面的薄盒，两端共同贡献，得到每侧 \(E=|\sigma|/(2\epsilon_0)\)。导体表面的一侧在材料内，内部场为零，外部法向场为 \(E_{\perp}=\sigma/\epsilon_0\)。
若电荷密度不均匀，先积分求 \(Q_{\mathrm{enc}}\)；若对称性被外部物体破坏，定律仍有效，但未必能直接算场。Gauss 定律把源和场连起来；下一课把场的做功积累成电势差。