平动中有 \(F=ma\)、功–动能定理和动量守恒。固定轴转动有对应的结构，但要时刻保留“相对于哪根轴”的信息。
1. Rotational kinetic energy
刚体绕固定轴转动，各质量元速率为 \(v_i=r_{\perp i}|\omega|\)。把它们的动能相加，得到 rotational kinetic energy 转动动能：
\[K_{\mathrm{rot}}=\sum_i\frac12m_iv_i^2=\frac12I\omega^2.\]
同时平动和转动的刚体可以写成 \(K=Mv_{\mathrm{cm}}^2/2+I_{\mathrm{cm}}\omega^2/2\)。这里必须用绕质心的惯量，不能再任意叠加另一根轴的转动动能。
转过小角度时，力做功成为 \(dW=\tau\,d\theta\)，所以 \(W=\int\tau\,d\theta\)，瞬时功率 \(P=\vec\tau\cdot\vec\omega\)。固定轴、恒定 \(I\) 时，合力矩做功等于转动动能变化。力矩–角位移图的面积与原来的力–位移图形成对应。
2. Angular momentum
Angular momentum 角动量相对于参考点 \(O\) 定义为
\[\begin{gathered} \vec L_O=\vec r\times\vec p, \\ |\vec L_O|=mv\ell_\perp. \end{gathered}\]
\(\ell_\perp\) 是参考点到动量作用线的垂直距离。角动量单位 \(\mathrm{kg\,m^2/s}\)，方向由右手定则给出。沿直线运动的质点相对于不在该直线上的点也可以有角动量，不需要真的绕圈。
对固定惯性参考点，\(d\vec L/dt=\sum\vec\tau_{\mathrm{ext}}\)。沿时间积累力矩得到 angular impulse 角冲量，\(\int\sum\vec\tau_{\mathrm{ext}}dt=\Delta\vec L\)。固定轴刚体的轴向角动量是 \(L_z=I\omega\)；一般三维情况下不能把所有矢量直接写成同一个标量 \(I\) 乘角速度。接下来把线量与角量的对应整理在同一逻辑中。
3. Connections between rotational and translational quantities
线位移、速度、加速度分别对应角位移、角速度、角加速度；质量对应转动惯量，合力对应合力矩，动量对应角动量。几何关系 \(s=r\theta\)、\(v_t=r\omega\)、\(a_t=r\alpha\) 把这些描述连接起来。
但对应不等于可以省掉条件。转动惯量依赖轴，质点角动量包含位置，转动物体还有径向加速度。一个外力可以同时改变质心平动和绕质心转动，分别由 \(\sum\vec F=M\vec a_{\mathrm{cm}}\) 与相应力矩关系描述。
动量守恒看外力，角动量守恒看外力矩。两个判断可能不同，这正是下一部分的重点。
4. Conservation of angular momentum
选定系统和固定惯性参考点或轴，若总外力矩为零，系统的 angular momentum 角动量守恒：
\[\Delta\vec L=\int\sum\vec\tau_{\mathrm{ext}}dt=0.\]
固定轴问题中常写成 \(I_i\omega_i=I_f\omega_f\)。收拢手臂使 \(I\) 减小，\(|\omega|\) 增大；转动动能 \(L^2/(2I)\) 可以增加，增加的能量来自身体做功，因此角动量守恒不保证机械能守恒。
碰撞中若轴的外力矩冲量可忽略，角动量可以近似守恒，即使动能损失。中心引力对中心点的力矩为零，也使轨道角动量保持不变，解释了靠近中心时速度较快、单位时间扫过相同面积。下一课把平动与转动同时放入一个滚动的物体。