Problem Solving Lesson 帮助你把文字、图像和函数中的运动信息变成可以计算的方程。开始前，可以回顾 Lesson 01：描述运动、Lesson 02：恒加速度方程、Lesson 03：抛体运动 和 Lesson 04：参考系与相对运动。近地抛体例题均忽略空气阻力，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。
1. 先辨明所问的量，再选坐标与时钟
看到运动题，先把问题说完整：求的是位置还是位移，路程还是位移大小，平均速度还是平均速率？位置需要原点，速度需要观察者，时间需要起算时刻。这些约定应在计算之前写清。
例题：去而复返。 物体沿直线从 \(x=2\,\mathrm m\) 运动到 \(x=8\,\mathrm m\)，再返回 \(x=5\,\mathrm m\)，全程用时 \(3\,\mathrm s\)。位移只比较起点和终点：
\[\Delta x=x_f-x_i=5-2=3\,\mathrm m.\]
路程则把每一段实际经过的距离相加：\(s=6+3=9\,\mathrm m\)。因此平均速度为 \(1\,\mathrm{m/s}\)，沿正方向；平均速率为 \(3\,\mathrm{m/s}\)。两者不同，是因为返回的一段增加路程，却减小总位移。
再看方向与快慢。某时刻 \(v=-2\,\mathrm{m/s}\)、\(a=-3\,\mathrm{m/s^2}\)，物体朝负方向运动，而且速率正在增大。速度和加速度同向时加快，反向时减慢；负加速度本身不表示减速。在 \(v=0\) 的瞬间，需要比较前后的运动状态，不能只用“正负相同”判断。
落笔顺序： 写所求量，规定正方向和计时起点，再标出这段过程的初值。同一道题的两段运动，初值可能不同。
2. 图像题先读轴，再选择斜率或面积
位置—时间图的斜率给速度；速度—时间图的斜率给加速度，带符号面积给位移；加速度—时间图的面积给速度变化。图像的高度与斜率表示不同物理量，先读清纵轴。
\[v=\frac{dx}{dt},\qquad a=\frac{dv}{dt},\qquad \Delta x=\int_{t_i}^{t_f}v(t)\,dt.\]
例题：正负面积抵消。 物体的速度为 \(v(t)=2-t\)，其中 \(t\) 以秒计，\(v\) 以米每秒计，考虑 \(0\le t\le4\,\mathrm s\)，初位置为 \(5\,\mathrm m\)。
物体在 \(t=2\,\mathrm s\) 换向。前两秒的面积为 \(+2\,\mathrm m\)，后两秒为 \(-2\,\mathrm m\)，所以总位移为零，末位置仍为 \(5\,\mathrm m\)。路程把两块面积的大小相加，为 \(4\,\mathrm m\)。
整条直线的斜率为 \(-1\,\mathrm{m/s^2}\)。在换向时刻，速度为零，但加速度仍为 \(-1\,\mathrm{m/s^2}\)。速度图穿过横轴，不能据此把加速度也设成零。
路程可写为 \(s=\int |v|\,dt\)。需要先找出换向时刻，再分段取面积；直接对总位移取绝对值，通常不能得到路程。
3. 函数题沿导数和积分链处理，并保留初值
题目给函数时，先辨认求的是函数值、变化率，还是累积变化。给 \(v(t)\) 求某时刻速度，直接代入；求加速度，先求导；求位移，积分。
例题：加速度随时间变化。 一物体沿直线运动，初速度 \(v(0)=3\,\mathrm{m/s}\)，加速度为 \(a(t)=(2\,\mathrm{m/s^3})t\)。求 \(t=2\,\mathrm s\) 时的速度。
\[v(2)=v(0)+\int_0^2a(t)\,dt =3+\int_0^2 2t\,dt =7\,\mathrm{m/s}.\]
积分得到的 \(4\,\mathrm{m/s}\) 是速度变化，仍要加初速度。末时刻加速度为 \(4\,\mathrm{m/s^2}\)，但它不是整个区间都保持的加速度，因此不能用 \(\Delta v=a(2)\times2\)。
若还要求位置，则从速度再积分一次：
\[x(t)=x(0)+\int_0^t v(t')\,dt'.\]
两次积分各需要一个初值。定积分形式可以把起始时刻和初值直接写在方程中；使用不定积分时，需要分别由初速度、初位置确定积分常数。
检查单位： 加速度的单位是 \(\mathrm{m/s^2}\)，因此上式中乘在 \(t\) 前的系数单位必须是 \(\mathrm{m/s^3}\)。量纲能发现遗漏的时间因子，却不能单独证明整个解法正确。
4. 恒加速度方程先确认条件，再选择少未知量的式子
五个运动学方程适用于所研究区间加速度恒定的情形。先确认这个条件，再根据已知量和所求量选式。题目没有时间，不必为了套某个公式先绕路求时间。
例题：初速度不为零。 物体沿正方向运动，初速度为 \(4\,\mathrm{m/s}\)，恒加速度为 \(3\,\mathrm{m/s^2}\)，沿正方向移动 \(8\,\mathrm m\)。求末速率。
\[v_f^2=v_i^2+2a\Delta x =4^2+2(3)(8)=64, \qquad |v_f|=8\,\mathrm{m/s}.\]
初速度与加速度均朝正方向，物体没有换向，所以末速度为 \(+8\,\mathrm{m/s}\)。平方方程本身只给速率；如果题目包含减速或折返，方向需要依据所在的运动阶段判断。
初、末速度的平均值 \(\tfrac12(v_i+v_f)\) 可在恒加速度直线运动中求平均速度。加速度随时间变化时，应回到 \(\bar v=\Delta x/\Delta t\)，不能无条件沿用这个平均值。
自由落体和竖直上抛也遵循同样的符号规则。取向上为正，就写 \(a=-g\)；取向下为正，就写 \(a=+g\)。\(g\) 是正的大小，方程中的加速度分量由正方向决定。
5. 抛体的两个方向共用同一个时间
把抛体拆成水平和竖直两个方向。近地、无空气阻力模型下，\(a_x=0\)、\(a_y=-g\)。先用已知的竖直位置条件确定时间，再把同一个时间带入水平运动。
例题：同高斜抛。 小球从水平地面抛出，初速度分量为 \(v_{x0}=12\,\mathrm{m/s}\)、\(v_{y0}=8\,\mathrm{m/s}\)，落回同高地面。
\[0=8T-\frac12(10)T^2.\]
根 \(T=0\) 是发射瞬间，落地对应 \(T=1.6\,\mathrm s\)。水平射程为 \(R=12(1.6)=19.2\,\mathrm m\)。在最高点，只令竖直速度为零，水平速度仍为 \(12\,\mathrm{m/s}\)，加速度仍竖直向下。
例题：从高处平抛。 小球从 \(20\,\mathrm m\) 高处以 \(6\,\mathrm{m/s}\) 水平抛出。竖直初速度为零，于是 \(20=\tfrac12gt^2\) 给出 \(t=2\,\mathrm s\)；水平位移为 \(6(2)=12\,\mathrm m\)。落差不能带入水平运动方程。
“上升时间乘二”依赖起点与落点等高。若落点低于发射点，写真实的 \(\Delta y\) 解竖直方程；不应先假定上下两段历时相等。
6. 相对运动把对象和观察者写进下标
设 B 为船、R 为水、L 为岸，三个速度的关系为
\[\vec v_{BL}=\vec v_{BR}+\vec v_{RL}.\]
左边是船相对岸的速度，右边分别是船相对水、水相对岸的速度。这是矢量相加，各方向分别列式。交换对象与观察者时，\(\vec v_{LB}=-\vec v_{BL}\)。
例题：到达另一岸。 河宽 \(60\,\mathrm m\)，水向东流，速率为 \(2\,\mathrm{m/s}\)。船始终朝正北，以相对水 \(3\,\mathrm{m/s}\) 航行。
船相对岸的北向分量仍为 \(3\,\mathrm{m/s}\)，所以过河时间为 \(60/3=20\,\mathrm s\)；东向漂移为 \(2(20)=40\,\mathrm m\)；船相对岸的速率为 \(\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\,\mathrm{m/s}\)。求过河时间时，不能用斜向运动的总速率去除正北方向的河宽。
若要求到达正对岸，条件变为岸系东向速度为零。船相对水必须有向西 \(2\,\mathrm{m/s}\) 的分量抵消水流，因此它需要朝上游航行。由于相对水的总速率仍为 \(3\,\mathrm{m/s}\)，北向分量变成 \(\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5\,\mathrm{m/s}\)，过河时间也随之改变。
7. 自主练习先写起始判断
练习 1：换向后的路程。 物体沿直线运动，初位置为 \(1\,\mathrm m\)，速度为 \(v(t)=3-2t\)（SI 单位），考虑 \(0\le t\le3\,\mathrm s\)。求位移、路程、末位置和换向时刻的加速度。
展开练习 1 解析
先找换向时刻：\(3-2t=0\)，得到 \(t=1.5\,\mathrm s\)。两段速度图的三角形面积大小各为 \(\tfrac12(1.5)(3)=2.25\,\mathrm m\)，符号相反，所以位移为零、路程为 \(4.5\,\mathrm m\)，末位置仍为 \(1\,\mathrm m\)。
加速度是速度函数的导数，始终为 \(-2\,\mathrm{m/s^2}\)，换向时也不为零。
练习 2：两个方向的方程。 小球从 \(45\,\mathrm m\) 高处以 \(4\,\mathrm{m/s}\) 水平抛出，求落地时间、水平位移，以及落地前瞬间的速度分量。取向右和向上分别为正。
展开练习 2 解析
竖直运动给 \(-45=-\tfrac12(10)t^2\)，所以 \(t=3\,\mathrm s\)。水平位移为 \(4(3)=12\,\mathrm m\)。
水平速度保持 \(v_x=+4\,\mathrm{m/s}\)，竖直速度为 \(v_y=0-10(3)=-30\,\mathrm{m/s}\)。初速“水平”只令初始竖直分量为零，不表示后来竖直速度也为零。
练习 3：观察者改变。 骑车人相对地面向东以 \(6\,\mathrm{m/s}\) 运动，列车相对地面向东以 \(4\,\mathrm{m/s}\) 运动。求骑车人相对列车的速度，以及列车相对骑车人的速度。
展开练习 3 解析
取向东为正，\(v_{\mathrm{骑/车}}=v_{\mathrm{骑/地}}-v_{\mathrm{车/地}}=6-4=+2\,\mathrm{m/s}\)，即骑车人相对列车向东。
交换观察者与对象，速度反号，所以列车相对骑车人向西 \(2\,\mathrm{m/s}\)。两者的相对速度大小相同，方向相反。
做 workbook 题时，可以先写一句：“纵轴是速度，所以面积给位移”“加速度随时间变，所以积分并保留初值”“先由落点高度求时间”，或者“这个速度必须指定观察者”。再计算，比先寻找一个看起来含有相同字母的公式更可靠。
8. 选学相遇与延时释放的有效时间
相遇要求同一时刻的位置相同，并不要求速度相同。
例题：两个球同时出发。 上球从 \(20\,\mathrm m\) 高处静止释放，下球同时从地面以 \(20\,\mathrm{m/s}\) 竖直向上抛。以地面为原点，向上为正：
\[y_1=20-5t^2,\qquad y_2=20t-5t^2.\]
令 \(y_1=y_2\)，得到 \(t=1\,\mathrm s\)，相遇高度为 \(15\,\mathrm m\)。上球落地需 \(2\,\mathrm s\)，下球返回地面需 \(4\,\mathrm s\)，所以这个结果在两球都处于自由飞行的时间内。
如果下球初速改为 \(5\,\mathrm{m/s}\)，同样代数给出 \(t=4\,\mathrm s\)，但上球在 \(2\,\mathrm s\) 已落地，下球也早已返回地面。这时自由飞行模型在所求时刻已经失效，不能把代数根当作实际空中相遇。
如果两物体分别在 \(t=0\) 和 \(t=\tau\) 静止释放，第二物体的运动时长是 \(t-\tau\)。以向下位移比较、且两物体均在空中时：
\[\Delta d=\frac12g\left[t^2-(t-\tau)^2\right] =g\tau t-\frac12g\tau^2,\qquad t\ge\tau.\]
两物体有相同加速度，因此相对加速度为零；第二物体释放时，两者已经有速度差 \(g\tau\)，间距仍会增大。方程中的同一个时刻，不等于每个物体有相同的运动时长。