牛顿第二定律联系力和加速度。如果把力沿运动路径积累，就会出现功，并与速度的平方联系起来。能量法让我们不必总是先求出每个时刻的位置。
1. Concept of energy
Energy 能量是系统的一种状态量，可以储存、转移和转化。选择系统边界以后，能量不会凭空消失；它可能通过做功、热传递或其他方式跨越边界。推箱子、弹簧释放、物体下落看起来不同，都可以追踪能量从哪里来到哪里去。
Work 功是力通过位移转移能量的方式，不是系统“拥有”的一种能量。系统边界不同，同一次过程也可能被描述为外力做功或系统内部势能的变化。因此写能量方程之前，先说清楚研究什么。
2. Energy as a physical quantity
能量和功都是标量，单位 joule 焦耳 \(\mathrm J\)，\(1\,\mathrm J=1\,\mathrm{N\,m}=1\,\mathrm{kg\,m^2/s^2}\)。能量的数值与所选状态、参考系以及势能零点有关，能量变化与转移则具有明确物理意义。
机械能包括 kinetic energy 动能和相互作用的 potential energy 势能，\(E_{\mathrm{mech}}=K+U\)。内能还包括微观粒子的动能与相互作用能。摩擦过程中机械能减少，可以转为内能；不能据此说总能量不守恒。先把“外力做了多少功”定量写出来。
3. Work
恒力 \(\vec F\) 作用下，物体位移为 \(\Delta\vec r\) 时，只有沿位移方向的分量做功：
\[W=F\Delta r\cos\theta.\]
\(\theta\) 是力与位移的夹角。力有助于运动时功为正，阻碍时功为负，垂直时功为零。物体有力却没有位移时，这个力对该物体做功为零。
变力要在每一小段位移上算 \(dW=\vec F\cdot d\vec r\)，沿真实路径积累：
\[W=\int_{\mathcal C}\vec F\cdot d\vec r.\]
一维时 \(W=\int_{x_i}^{x_f}F_x\,dx\)，也就是 \(F_x\)–\(x\) 图的有符号面积。受力点的位移很重要；后面滚动中的静摩擦就是一个不能只拿质心位移来代替实际受力点位移的情形。这里出现的点积值得单独理解。
4. Dot product
Dot product 点积把两个矢量组合成一个标量：
\[\vec A\cdot\vec B=AB\cos\theta=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z.\]
它保留两个矢量沿彼此方向的重叠部分。平行同向时为正、反向时为负、垂直时为零，所以正好适合表达功。坐标轴旋转不会改变点积的数值，功也不会因为换了一组坐标轴而改变。
与稍后转动中的叉积不同，点积结果没有方向。用它把牛顿第二定律沿位移方向积累，会得到下一种状态量。
5. Kinetic energy
恒质量物体的动能定义为
\[K=\frac12mv^2.\]
它是非负标量，取决于速率而不是速度的方向。质量相同而速率加倍，动能变为四倍；两个反向运动、速率相同的物体有相同动能。由于速率依赖参考系，动能也依赖参考系。
速度的平方不是凭空选出来的。沿运动取牛顿第二定律的点积，有 \(\vec F_{\mathrm{net}}\cdot d\vec r=m\vec v\cdot d\vec v\)，积分自然产生 \(mv^2/2\)，于是功与动能建立了联系。
6. Work-energy theorem
Work–energy theorem 功–动能定理对恒质量质点给出
\[W_{\mathrm{net}}=\int\vec F_{\mathrm{net}}\cdot d\vec r=\frac12mv_f^2-\frac12mv_i^2=\Delta K.\]
合功为正，动能增加；合功为负，动能减少。这是牛顿第二定律的积分结果，适合只关心两个状态的问题，不直接给出经过的时间或速度方向。
对有转动、形变、发热的物体或多物体系统，总能量还可能流入这些部分，不能把所有外功都直接等同于质心平动动能变化。先选清系统与模型，才能知道方程中的 \(K\) 包括什么。除了能量转移了多少，我们还可以问转移得有多快。
7. Power and efficiency
Power 功率是做功或能量转移的速率，单位 watt 瓦特 \(\mathrm W=\mathrm{J/s}\)。
\[\begin{gathered} \bar P=\frac{W}{\Delta t}, \\ P=\frac{dW}{dt}=\vec F\cdot\vec v. \end{gathered}\]
同样的功可以在不同时间内完成；功率大说明单位时间转移的能量更多。恒功率不意味着恒力：沿速度方向推动时，\(F=P/v\)，速度增大所需力会减小。
Efficiency 效率为有用输出与总输入的比值，\(\eta=E_{\mathrm{useful}}/E_{\mathrm{input}}\)，稳定运行时也可用功率比。这里“有用”由任务决定，未成为有用输出的能量仍有去向。下一课把某些力做的功写成系统的势能变化，让能量记录更简洁。