Problem Solving Lesson 将运动量、图像、恒加速度和抛体连接起来。可先回顾 Lesson 01：描述运动、Lesson 02：五个运动学方程 和 Lesson 03：抛体运动。先确定所问的量、坐标方向和时间区间，再选择起始式。下面的近地抛体例题均取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，忽略空气阻力；所有时间从所述过程开始计。
1. 先区分位置、位移、路程与快慢
位置 position 是相对原点的坐标；位移 displacement 是末位置减初位置，\(\Delta x=x_f-x_i\)；路程 distance 是实际走过的总长度。平均速度 average velocity 为 \(\Delta x/\Delta t\)，平均速率 average speed 为路程除以同一个总时间。
例题：沿直线往返。 一个人从 \(x=-4\,\mathrm m\) 走到 \(x=7\,\mathrm m\)，再返回 \(x=2\,\mathrm m\)，全程八秒。求位移、路程、平均速度和平均速率。
先圈初、末位置，再把每一段长度相加：
\[\Delta x=2-(-4)=6\,\mathrm m,\qquad s=|7-(-4)|+|2-7|=16\,\mathrm m.\]
\[\bar v=\frac68=0.75\,\mathrm{m/s},\qquad \bar u=\frac{16}{8}=2.0\,\mathrm{m/s}.\]
速度的负号只表示朝负方向。速率 speed 为 \(|v|\)，不能为负；加速度的负号也不能单独说明“减速”。在速度非零的一段内，\(v\) 与 \(a\) 同号时速率增大，异号时速率减小。跨过换向时刻，要分开两侧判断。
2. 位置图看斜率，弯曲方向看速度怎样变
\(x\)–\(t\) 图的高度给位置，斜率给速度。直线从 \((0\,\mathrm s,6\,\mathrm m)\) 到 \((3\,\mathrm s,0)\)，斜率为
\[v=\frac{0-6}{3-0}=-2\,\mathrm{m/s}.\]
这段图线位于正位置区，物体仍朝负方向运动。两条位置图相交，只说明此刻位置相同；要判断速度相同，比较两条图线的斜率。
曲线的斜率逐渐增大，表示加速度为正；斜率逐渐减小，表示加速度为负。曲线在某点有水平切线，表示该点 \(v=0\)，不能据此把 \(a\) 也写成零。判断是否换向，还要看水平切线前后速度的符号是否改变。
3. 速度图的斜率、带符号面积与换向分别读取
\(v\)–\(t\) 图的斜率给加速度，指定区间的带符号面积给位移；路程则把每块面积的大小相加。图线穿过横轴并改变正负号，才表示换向。
例题：分段速度图。 物体的初位置为 \(x(0)=-3\,\mathrm m\)，速度图如下。求六秒内的位移、路程、末位置和平均加速度。
最后一段的斜率为 \(( -2-6)/(6-4)=-4\,\mathrm{m/s^2}\)，因此从 \(t=4\,\mathrm s\) 的 \(v=6\,\mathrm{m/s}\) 降到零需要 \(1.5\,\mathrm s\)。换向发生在 \(t=5.5\,\mathrm s\)，不是速度开始下降的四秒处。
\[\Delta x=\tfrac12(2)(6)+(2)(6) +\tfrac12(1.5)(6)-\tfrac12(0.5)(2) =22\,\mathrm m.\]
\[s=6+12+4.5+0.5=23\,\mathrm m,\qquad x_f=-3+22=19\,\mathrm m.\]
平均加速度只用这六秒的速度端点：
\[\bar a=\frac{-2-0}{6}=-\frac13\,\mathrm{m/s^2}.\]
它不同于最后一段的瞬时加速度 \(-4\,\mathrm{m/s^2}\)。全程平均速度为 \(22/6=11/3\,\mathrm{m/s}\)，也不能用 \((v_i+v_f)/2\)，因为全程加速度并不恒定。折点处不要求读出唯一的瞬时斜率。
4. 加速度图的面积给变化量，还要保留初值
\(a\)–\(t\) 图的带符号面积给 \(\Delta v\)，不是末速度。读完面积，继续写 \(v_f=v_i+\Delta v\)。
例题：先朝负方向运动。 初速度 \(-4\,\mathrm{m/s}\)，随后两秒加速度恒为 \(+3\,\mathrm{m/s^2}\)。面积为 \(+6\,\mathrm{m/s}\)，所以
\[v_f=-4+3(2)=+2\,\mathrm{m/s}.\]
物体先减小速率，速度过零后朝正方向加速。面积的单位是 \((\mathrm{m/s^2})\mathrm s=\mathrm{m/s}\)；速度图面积的单位才是米。读图前先检查纵轴写的是哪一个量。
5. 五个方程先检查恒加速度，再按未知量选择
下面每个式子都要求同一段时间内加速度恒定，所有初、末量都属于这一段。\(\Delta t\) 是历时，\(\Delta x\) 是带符号位移。
\[v_f=v_i+a\Delta t,\qquad \Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t,\]
\[\Delta x=v_i\Delta t+\frac12a\Delta t^2,\qquad \Delta x=v_f\Delta t-\frac12a\Delta t^2,\]
\[v_f^2=v_i^2+2a\Delta x.\]
已知初速度、加速度与时间，选含这三个量的式子；给初末速度和时间，优先用初末平均速度；没有时间且只需速度与位移关系，优先用平方关系。不要先增加题目并不需要的未知量。
例题：刹车到静止。 向右为正，汽车初速度 \(14\,\mathrm{m/s}\)，刹车加速度恒为 \(-7\,\mathrm{m/s^2}\)。求停止时间和刹车位移。
\[0=14-7t\Rightarrow t=2\,\mathrm s,\qquad 0=14^2+2(-7)\Delta x\Rightarrow \Delta x=14\,\mathrm m.\]
刹车加速度为负，位移仍为正，因为这段运动一直朝右。平方式只给末速度大小，方向应结合运动过程确定。若题目问末位置，还要加初位置。若解时间出现两个根，检查非负历时、所问事件，以及该运动模型的有效区间。
6. 分段运动继承状态，比例关系保留适用条件
每一段分别写自己的初速度、加速度和历时。没有瞬时冲量的衔接处，后一段的初位置、初速度继承前一段的末值；加速度可以改变。题给小车的实际加速度，就使用这个值，不凭轨道倾角另换一个未经验证的加速度。
例题：先加速，再匀速。 物体从静止开始，前两秒加速度为 \(3\,\mathrm{m/s^2}\)，随后三秒匀速运动。
\[v_1=3(2)=6\,\mathrm{m/s},\qquad \Delta x_1=\tfrac12(3)(2^2)=6\,\mathrm m,\]
\[\Delta x_2=6(3)=18\,\mathrm m,\qquad \Delta x_{\mathrm{total}}=24\,\mathrm m.\]
后段不是重新从静止出发，也不能给全程五秒使用前段加速度。
从静止出发、恒定加速度大小相同时，位移大小正比于时间平方；时间加倍，位移变为四倍。沿原方向刹停且减速度大小不变时，停止距离正比于初速率平方；初速率变为 \(1.5\) 倍，停止距离变为 \(2.25\) 倍。若还有反应阶段，它的距离正比于反应时间和初速率，要与刹车段分开计算。
7. 平抛让两个方向共用一个时间
近地无阻力抛体，水平 \(a_x=0\)，竖直 \(a_y=-g\)。水平初速度可以非零；平抛的竖直初速度为零。先用落差求时间，再把同一个时间带入水平运动。
例题：从五米高处水平抛出。 小球水平初速度 \(12\,\mathrm{m/s}\)，落到低五米的水平地面。取向上为正。
\[-5=0(t)-\tfrac12(10)t^2\Rightarrow t=1\,\mathrm s,\qquad \Delta x=12(1)=12\,\mathrm m.\]
落地时 \(v_x=12\,\mathrm{m/s}\)、\(v_y=-10\,\mathrm{m/s}\)，速率为
\[|\vec v|=\sqrt{12^2+(-10)^2}=\sqrt{244} \approx15.6\,\mathrm{m/s}.\]
两个分量不能直接相加，竖直速度的负号也不能使速率为负。同一高度、同一竖直初速度、同一个 \(g\) 和落地高度下，改变水平速度不改变飞行时间。比较两物体时，先核对这些竖直条件；不能只看到“抛体”就说时间一定相同。
8. 斜抛先分解，最高点只让竖直速度为零
发射角 \(\theta\) 从水平正方向量起时，\(v_{x0}=v_0\cos\theta\)、\(v_{y0}=v_0\sin\theta\)。若角度从竖直方向量起，先画邻边和对边再写分量；向下分量在向上坐标中为负。
例题：回到同一高度。 从水平地面以 \(20\,\mathrm{m/s}\) 发射，角度满足 \(\cos\theta=0.60\)、\(\sin\theta=0.80\)，忽略阻力。因此 \(v_{x0}=12\,\mathrm{m/s}\)、\(v_{y0}=16\,\mathrm{m/s}\)。
回到同高位置时，竖直位移为零：
\[0=16T-5T^2,\qquad T=\frac{2(16)}{10}=3.2\,\mathrm s.\]
排除发射时刻的 \(T=0\)。水平射程为 \(12(3.2)=38.4\,\mathrm m\)。最高点 \(v_y=0\)，由竖直平方式得到相对发射点的最大上升高度：
\[0=16^2-2(10)H\Rightarrow H=12.8\,\mathrm m.\]
最高点速度仍向右 \(12\,\mathrm{m/s}\)，加速度仍向下 \(10\,\mathrm{m/s^2}\)。全程速率
\[|\vec v(t)|=\sqrt{12^2+(16-10t)^2}\]
在最高点达到非零最小值；速率图在这里是平滑低点，不是降到零的尖角。落点与起点不同高时，改写实际 \(\Delta y\) 的竖直方程，不能把上升时间直接乘二。
9. 相对运动先给速度注明观察者
同方向直线运动中，先统一正方向，再使用带符号速度。设 \(P\) 为乘客、\(T\) 为列车、\(G\) 为地面：
\[v_{P/G}=v_{P/T}+v_{T/G}.\]
例题：车内向后走。 列车相对地面向右 \(15\,\mathrm{m/s}\)，乘客相对列车向左 \(2.5\,\mathrm{m/s}\)。向右为正，乘客相对地面的速度为 \(-2.5+15=+12.5\,\mathrm{m/s}\)，仍朝右。
二维情况使用矢量相加，分别列水平、竖直分量。匀速平移的参考系之间，加速度相同。小球从匀速车中竖直抛出时，它在地面系还继承了车的水平速度；无阻力飞行中保留这个分量，所以可一直位于抛出位置的正上方。
10. 自主练习先标轴、区间与初值
练习 1：限定读图区间。 使用第 3 节速度图，只考虑 \(t=2\) 到 \(6\,\mathrm s\)。求位移、路程和平均加速度。四秒处开始减速是否等于换向？
展开练习 1 解析
位移为 \(12+4.5-0.5=16\,\mathrm m\)；路程为 \(12+4.5+0.5=17\,\mathrm m\)。平均加速度为 \([-2-6]/(6-2)=-2\,\mathrm{m/s^2}\)。四秒后速度仍先为正，直到 \(5.5\,\mathrm s\) 才改变符号并换向。
练习 2：刹车位移与末位置。 初位置 \(x_i=4\,\mathrm m\)，初速度 \(18\,\mathrm{m/s}\)，随后加速度恒为 \(-3\,\mathrm{m/s^2}\) 直到停止。求停止时间、位移和末位置。
展开练习 2 解析
\(t=(0-18)/(-3)=6\,\mathrm s\)；\(0=18^2+2(-3)\Delta x\) 给 \(\Delta x=54\,\mathrm m\)。末位置为 \(4+54=58\,\mathrm m\)，不能把位移直接当坐标。
练习 3：衔接处保留速度。 物体初速度 \(5\,\mathrm{m/s}\)，先以 \(-1\,\mathrm{m/s^2}\) 运动两秒，再以当时速度匀速运动四秒。求总位移。
展开练习 3 解析
前段末速度为 \(5-2=3\,\mathrm{m/s}\)，位移 \(5(2)-\tfrac12(2^2)=8\,\mathrm m\)；后段位移为 \(3(4)=12\,\mathrm m\)。总位移 \(20\,\mathrm m\)。此处没有换向，两段位移均为正。
练习 4：平抛比较。 从二十米高处以水平速度 \(8\,\mathrm{m/s}\) 抛球，忽略阻力。求飞行时间、水平距离与落地速率。若仅将水平初速度加倍，哪些结果不变？
展开练习 4 解析
\(20=5t^2\) 给 \(t=2\,\mathrm s\)，水平距离为 \(16\,\mathrm m\)。落地分量为 \(v_x=8\)、\(v_y=-20\,\mathrm{m/s}\)，速率 \(\sqrt{8^2+20^2}=4\sqrt{29}\approx21.5\,\mathrm{m/s}\)。加倍水平速度后，时间与竖直落地速度不变，水平距离变为 \(32\,\mathrm m\)，总落地速率增大。
练习 5：斜抛的最高点与落点。 从水平地面以 \(30\,\mathrm{m/s}\) 发射，角度满足 \(\cos\theta=0.80\)、\(\sin\theta=0.60\)，最后落回同高地面。求最高点速率、飞行时间、射程与最大上升高度。
展开练习 5 解析
初分量为 \(v_{x0}=24\)、\(v_{y0}=18\,\mathrm{m/s}\)。最高点速率为 \(24\,\mathrm{m/s}\)；\(T=2(18)/10=3.6\,\mathrm s\)；射程 \(24(3.6)=86.4\,\mathrm m\)；上升高度为 \(18^2/[2(10)]=16.2\,\mathrm m\)。最高点的加速度仍竖直向下。
练习 6：固定物体与加速车。 车以 \(+4\,\mathrm{m/s^2}\) 沿直线加速，箱子固定在车上，车的坐标轴保持与地面平行。箱子相对车与相对地面的加速度分别是多少？
展开练习 6 解析
箱子相对车的位置不变，故相对加速度为零；相对地面的加速度为 \(+4\,\mathrm{m/s^2}\)。这里车在加速，不能沿用“匀速平移参考系之间加速度相同”的条件。
做 workbook 时，先写一句选法理由，例如“速度图带符号面积给位移”“这段加速度恒定且没有时间，用平方式”“竖直落差给时间，两方向共用它”。再代入，最后检查单位、符号、初值和有效时间。
11. 选学：正对岸与加速参考系多一个约束
过河时间由相对岸的跨河速度分量决定。要求到达正对岸时，沿河分量必须为零，不能只把船头指向正对岸。
例题：在正对岸落点条件下最快过河。 船相对水的最大速率 \(17\,\mathrm{km/h}\)，水流沿岸 \(8\,\mathrm{km/h}\)，河宽 \(1.5\,\mathrm{km}\)。船保持恒定航向，岸线平行。
沿上游的船速分量必须抵消水流，大小为 \(8\,\mathrm{km/h}\)。要使跨河分量最大，使用全部可用速率：
\[v_{\perp,\max}=\sqrt{17^2-8^2}=15\,\mathrm{km/h},\qquad t_{\min}=\frac{1.5}{15}=0.10\,\mathrm h=6\,\mathrm{min}.\]
若船相对水的最大速率小于水流速率，就无法抵消水流；等于水流速率时，完全抵消会耗尽船速，没有跨河分量。要以恒定航向到达正对岸的另一岸，需要最大船速严格大于水流速率。
非转动、坐标轴平行的平移参考系，使用
\[\vec a_{\mathrm{object/frame}} =\vec a_{\mathrm{object/ground}}-\vec a_{\mathrm{frame/ground}}.\]
这解释了练习 6 中的不同加速度。若参考系还转动，不能只用这一条平移关系。
12. 选学：模型边界与运动测量
平滑运动段之间可以继承速度；碰撞瞬间则先按题目的碰撞条件更新速度。小球撞到固定、水平、光滑且完全弹性的天花板时，切向水平速度不变，法向竖直速度反号。重力使碰撞前后的飞行段都有 \(a_y=-g\)，却不能把这一值直接延用到碰撞的极短冲量区间。
空气阻力反向于物体相对空气的速度。向上飞行时阻力向下，与重力同向；下降时阻力向上。若阻力不可忽略，就先结合下一单元的受力关系求实际加速度，不能继续默认全程 \(a_y=-g\)。
从静止开始的恒加速度运动中，\(\Delta x=\tfrac12at^2\)，所以 \(\Delta x\)–\(t^2\) 直线的斜率为 \(a/2\)。非零初速度时还有 \(v_it\) 项，一般不再是这条直线。用相近时刻的速度差除以时间差，可以估计局部加速度；时间窗口有限时，应把它视为窗口内的平均值或局部近似。
最后，回到原位置要求累计带符号位移为零；此刻速度不必为零。速度为零、位置为零、回到初位置，是三个不同的条件。