Problem Solving Lesson 将源磁场、粒子受力和感应分成明确的判断阶段。可先回顾 Lesson 01：电流产生的磁场、Lesson 02：运动电荷的磁力 和 Lesson 03：电磁感应。在纸面图中，点表示出纸面、叉表示入纸面；粒子题采用非相对论模型。
1. 外磁场由源决定，叠加前先画方向
空气长直导线有 \(B=\mu_0I/(2\pi r)\)，\(r\) 是到线轴的垂直距离。右手拇指沿规定电流，弯指给观察点的场方向。测试粒子的速度和电荷不进入源场公式。
例题：两同向电流的中间场。 两长直导线向上通电，左电流 \(I\)、右电流 \(2I\)，间距 \(4d\)。点 P 距左线 \(d\)、距右线 \(3d\)。令 \(B_*=\mu_0I/(2\pi d)\)。
左线在 P 给入纸面的 \(B_*\)，右线给出纸面的 \(2B_*/3\)，合场为入纸面 \(B_*/3\)。电流同向不表示中间两个场同向；只看电流大小也不能忽略距离。
外部磁体场线离 N 入 S，指南针 N 端沿当地合场。多个正交贡献应先求分量，再求合场；不能把所有场大小一律相加。
2. 磁力先做正电荷参考，再处理电荷符号
\[\vec F_B=q\vec v\times\vec B, \qquad F_B=|q|vB\sin\theta.\]
例题：电子的方向。 粒子速度向上，磁场入纸面。正电荷参考力向左；电子为负，所以力向右。只反向一次。载流直段则用规定电流 \(\vec F=I\vec\ell\times\vec B\)，不能又因实际载流者是电子反一次。
静止、速度平行或反平行磁场时，磁力可以为零；零力本身不能证明磁场为零或粒子中性。瞬时力大小不含质量，质量影响后续加速度和曲率。
点电荷磁力始终垂直当时速度，\(\vec F_B\cdot\vec v=0\)，所以不做功。它能改变运动方向并产生加速度；若动能改变，要检查电力、重力或其他做功者。
3. 圆轨道需要均匀场和垂直入射
只有磁力负责向心加速度、均匀磁场且 \(v\perp B\) 时，
\[|q|vB=\frac{mv^2}{r},\qquad r=\frac{mv}{|q|B}.\]
例题：质子与 α 核。 两者同速、同垂直磁场，\(m_\alpha=4m_p\)、\(q_\alpha=2e\)、\(q_p=e\)。磁力之比为二，半径之比为 \(4/2=2\)。力比较不使用质量，半径比较同时计质量与电荷。
磁场边界若力有限而没有冲量，速度连续，入口不突然折角，出区后沿出口切线直行。非均匀场可以判断当地弯曲趋势，却不能把整段轨迹当成同半径圆；存在平行速度分量时则可出现螺旋。
4. 无偏转选择器先查两种力确实相反
例题：电磁抵消。 速度向右，电场向上 \(240\,\mathrm{N/C}\)，磁场出纸面 \(0.080\,\mathrm T\)。正电荷电力向上、磁力向下，可以抵消。
对非零电荷，\(|q|E=|q|vB\)，得 \(v=E/B=3000\,\mathrm{m/s}\)。换成电子后，两种力都反向，仍能在同一速率抵消。
这不是圆周模型，不再把右端写成 \(mv^2/r\)。如果两种力不是反向，单独令两个大小相等也无法证明无偏转；中性粒子则不受这一速率选择条件约束。
5. 磁通取穿面投影与实际重叠面积
均匀磁场穿过面积 \(A\)，\(\Phi=BA\cos\theta\)，\(\theta\) 从所选面积法向量起。若磁场与平面成 \(30^\circ\)，与法向的锐角是 \(60^\circ\)，通量大小为 \(BA/2\)。
同绕向、每匝穿面量相同的 \(N\) 匝线圈，总磁通链为 \(\lambda=N\Phi\)。题目已经给总链时，不再乘一次匝数。
部分入磁区只取实际穿面重叠面积。整个环在均匀静场内平移，或者圆环在原平面内自转，磁通可以不变。有磁场、有磁通，都不自动表示有感应电流。
6. 感应看变化率，图线最高处未必最强
法拉第定律的负号对应固定的法向与绕向约定，\(\varepsilon=-d\lambda/dt\)；线性区间用斜率或 \(-\Delta\lambda/\Delta t\)。
例题：分段磁场。 单匝环固定、面积 \(0.20\,\mathrm{m^2}\)，法向磁场折线经过 \((0,1)\)、\((2,5)\)、\((5,5)\)、\((6,2)\)，时间用秒、场用特斯拉。接恒定电阻，忽略自感。
三段斜率为 \(+2,0,-3\,\mathrm{T/s}\)，电动势大小为 \(0.40,0,0.60\,\mathrm V\)。电阻功率 \(P=\varepsilon^2/R\)，所以最后一段最亮；中间场虽最大却无感应。
匀速进入、完全在有限均匀场内、匀速离开的矩形环，重叠面积斜率为正、零、负。固定 \(B,v,R\) 时产生等大反向的进入和离开电流脉冲；不是把面积曲线直接当电流曲线。若运动减速，脉冲大小也可能改变。
7. 楞次定律反抗变化，不是一律反磁场
依次写“外磁通方向、大小正在增减、感应场所需方向”，再从固定观察侧判断电流绕向。
从纸面正面看，入纸面通量增大时，感应场出纸面，电流逆时针。出纸面通量减小时，为补偿减少，感应场也出纸面，同样逆时针。这后一例中感应场与原场同向。
换到另一观察侧，“顺时针、逆时针”的词会交换，所以观察侧应始终明确。通量最大不等于感应最大；光滑通量极值处斜率为零，而变化方向可能在此翻转。
8. 滑杆用机械功率核对电阻耗散
例题：恒速拉动闭合电路的杆。 两轨间距 \(\ell=0.40\,\mathrm m\)，磁场 \(0.25\,\mathrm T\) 入纸面。右侧杆向右恒速 \(3.0\,\mathrm{m/s}\)，左侧导体闭合回路，总电阻 \(0.60\,\Omega\)。忽略摩擦和自感。
\[|\varepsilon|=B\ell v=0.30\,\mathrm V, \qquad I=0.50\,\mathrm A, \qquad F_B=BI\ell=0.050\,\mathrm N.\]
入纸面磁通增加，感应场出纸面，电流逆时针，杆中向上；杆磁力向左，外力向右等大。外力功率 \(Fv=0.150\,\mathrm W\)，恰等于 \(I^2R=0.150\,\mathrm W\)。
机械输入供给电阻耗散，静磁场不是主动能量源。如果没有人为恒速，需把动能变化计入；不能把整段过程都视为同一固定电流。离开磁区电流虽反向，在这类被动单平移模型中阻力仍反运动。
9. 自主练习逐步给方向与条件
练习 1：磁力与功。 正粒子速度向右，磁场出纸面。判断磁力方向。若仅受电场力和磁场力，动能由七毫焦变十二毫焦，分别求两种力的功。
展开练习 1 解析
正磁力向下。磁力功始终为零，电力功等于动能变化 \(+5\,\mathrm{mJ}\)。受力与做功是不同判断。
练习 2：半径比例。 同一非相对论粒子，速率加倍，垂直均匀磁场减半，只有磁力负责圆周。求磁力与半径倍率。
展开练习 2 解析
磁力倍率 \(2(1/2)=1\)，半径倍率 \(2/(1/2)=4\)。力虽不变，所需的 \(mv^2/r\) 仍随速度平方改变。
练习 3：匝数与变化量。 十二同绕向线圈，每匝磁通由 \(0.010\) 线性增至 \(0.070\,\mathrm{Wb}\)，用时 \(0.30\,\mathrm s\)。求总链变化及平均电动势大小。
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每匝变化 \(0.060\,\mathrm{Wb}\)，总链变化 \(0.72\,\mathrm{Wb\,turn}\)，电动势大小 \(0.72/0.30=2.4\,\mathrm V\)。末磁通不是磁通变化。
练习 4：楞次方向。 从纸面正面看，入纸面外通量正在减小，求感应场与电流绕向。若通量保持不变，是否仍因磁场非零而有感应电流？
展开练习 4 解析
感应场入纸面以补偿减小，电流顺时针。通量保持不变时，这一感应机制的电动势为零；没有其他电源时不因此产生电阻感应电流。
练习 5：速度选择。 互相垂直的电、磁场满足力方向可反向抵消，\(E=180\,\mathrm{N/C}\)、\(B=0.060\,\mathrm T\)，非零电荷速度垂直磁场。求无偏转速率；质量加倍会怎样？
展开练习 5 解析
\(v=E/B=3000\,\mathrm{m/s}\)，质量加倍不改变选定速率。方向相消已是必要条件，不能仅由两个场强数值省掉这一判断。
做 workbook 时，先完成“源场—瞬时受力—运动模型”或“穿面通量—变化率—楞次方向—能量”这一顺序。只错方向时先修正方向，不把无关的大小计算都重做成一次诊断。
10. 选学法向翻转、累计电荷与源电流
线圈材料法向随线圈翻转半圈，初每匝有向通量 \(+0.006\,\mathrm{Wb}\)，末为 \(-0.006\,\mathrm{Wb}\)，变化为 \(-0.012\,\mathrm{Wb}\)。十匝用时 \(0.20\,\mathrm s\)，平均有向电动势大小为 \(0.60\,\mathrm V\)。转后不能重新定义正向，把符号变化抹掉。
总电阻固定、忽略自感时，带符号累计电荷满足 \(Q_{\mathrm{net}}=-\Delta\lambda/R\)。单匝面积 \(0.050\,\mathrm{m^2}\)，法向场单向增加，\(R=4.0\,\Omega\)，累计电荷大小 \(0.030\,\mathrm C\)，则 \(|\Delta\lambda|=0.120\,\mathrm{Wb}\)、\(\Delta B=2.4\,\mathrm T\)。同样场变化若更慢，电流较小、历时较长，累计量仍相同；若途中反向，净量与总绝对通过量不同。
两固定线圈若总链 \(\lambda=kI_{\mathrm{source}}\)，\(k=0.030\,\mathrm{Wb\,turn/A}\)，源电流以 \(4.0\,\mathrm{A/s}\) 匀速增大，则感应电动势大小为 \(0.120\,\mathrm V\)。受感线圈总阻六欧、忽略自感时，电流大小 \(0.020\,\mathrm A\) 为常量。源电流增大，不等于受感电流也随时间增大；它取决于源电流的变化率。