Problem Solving Lesson 将冲量、碰撞和质心接成一条解题过程。先回顾 Lesson 01：动量与冲量 和 Lesson 02：质心；再练习下面的起始判断、完整例题与自主练习。
1. 动量变化先写初末方向
动量是矢量，\(\vec p=m\vec v\)；合冲量等于末动量减初动量：
\[\vec J_{\mathrm{net}}=\int_{t_i}^{t_f}\vec F_{\mathrm{net}}\,dt =\vec p_f-\vec p_i.\]
例题：球撞墙后反弹。 \(0.20\,\mathrm{kg}\) 的球以 \(5\,\mathrm{m/s}\) 向右撞墙，经过 \(0.040\,\mathrm s\) 后以 \(3\,\mathrm{m/s}\) 向左离开。其他水平力可忽略，取向右为正。
\[v_i=+5,\quad v_f=-3,\qquad J_x=0.20(-3-5)=-1.60\,\mathrm{N\,s}.\]
墙对球的平均水平力为 \(\overline F_x=J_x/\Delta t=-40\,\mathrm N\)，方向向左。反弹的速度变化涉及两个相反方向，不能直接用两个速率之差。平均力也不等于峰值力。
如果换成球撞地板且接触时间不可忽略，以向上为正，应写 \(J_{\mathrm{floor}}-mg\Delta t=\Delta p_y\)。题目问指定力的冲量时，先检查它是否就是合冲量。
2. 力图面积的横轴必须是时间
在 \(F_x\)–\(t\) 图上，有符号面积是水平冲量；在 \(F_x\)–\(x\) 图上，面积是功。先读横轴及单位，再决定面积改变动量还是动能。
例题：三角形力脉冲。 一个物体受到的合力从 \(t=0\) 时的零，线性升到 \(t=2\,\mathrm s\) 时的 \(6\,\mathrm N\)，再线性降到 \(t=4\,\mathrm s\) 时的零，始终沿 \(+x\)。
\[J_x=\frac12(4)(6)=12\,\mathrm{N\,s}.\]
若物体质量为 \(2\,\mathrm{kg}\)，初速度为 \(-3\,\mathrm{m/s}\)，则 \(p_i=-6\,\mathrm{kg\,m/s}\)、\(p_f=+6\,\mathrm{kg\,m/s}\)，末速度为 \(+3\,\mathrm{m/s}\)。初末速率相同，动量却改变了。
当力给为函数时，用相同的有符号面积：例如 \(F_x(t)=ct^2\)，在 \(0\le t\le T\) 上，\(J_x=cT^3/3\)，其中 \(c\) 的单位为 \(\mathrm{N/s^2}\)。末时力值本身不是整个过程的冲量。
3. 碰撞先查外冲量，再查碰撞类型
把两个碰撞物体圈为系统，在所求方向写
\[\vec P_f-\vec P_i=\vec J_{\mathrm{ext}}.\]
系统内部碰撞力可以很大；它们相互抵消，因此不改变系统总动量。真正要检查的是碰撞时间内的外冲量。如果只有水平方向外冲量可忽略，就只承诺水平动量守恒。
例题：反向两物块粘合。 光滑水平面上，\(2\,\mathrm{kg}\) 物块向右 \(4\,\mathrm{m/s}\)，\(1\,\mathrm{kg}\) 物块向左 \(2\,\mathrm{m/s}\)，碰后粘在一起。水平外冲量可忽略。
粘合给共同末速度 \(V\)，向右为正：
\[2(4)+1(-2)=(2+1)V,\qquad V=+2\,\mathrm{m/s}.\]
初动能 \(K_i=\tfrac12(2)(4^2)+\tfrac12(1)(2^2)=18\,\mathrm J\)；末动能 \(K_f=\tfrac12(3)(2^2)=6\,\mathrm J\)。动能减少 \(12\,\mathrm J\)，转入形变、热等内部能。
动量守恒本身不能证明碰撞弹性。完全弹性碰撞还需总动能守恒；粘合碰撞使用共同末速度，通常不再令动能守恒。分离、弹簧压缩和粘合分别描述不同阶段或模型。
4. 二维碰撞先分量，后求大小
例题：两物体垂直入射后粘合。 \(2\,\mathrm{kg}\) 物体以 \(3\,\mathrm{m/s}\) 向东，与 \(1\,\mathrm{kg}\) 物体以 \(4\,\mathrm{m/s}\) 向北碰撞并粘合。水平外冲量可忽略。
取东为 \(+x\)、北为 \(+y\)，初总动量分量为 \(P_x=6\)、\(P_y=4\,\mathrm{kg\,m/s}\)。总质量为 \(3\,\mathrm{kg}\)，因此
\[V_x=2\,\mathrm{m/s},\qquad V_y=\frac43\,\mathrm{m/s}, \qquad |\vec V|=\sqrt{2^2+(4/3)^2} =\frac{2\sqrt{13}}3\approx2.40\,\mathrm{m/s}.\]
方向在东偏北 \(\tan^{-1}(2/3)\approx33.7^\circ\)。动量大小是 \(\sqrt{6^2+4^2}\)，既不是 \(6+4\)，也不是末速率；要得到速度，还需除以总质量。
5. 质心位置与质心速度分别加权
所有位置采用同一坐标系：
\[\vec r_{\mathrm{cm}}=\frac{\sum m_i\vec r_i}{M}, \qquad \vec V_{\mathrm{cm}}=\frac{\vec P}{M}, \qquad M\vec a_{\mathrm{cm}}=\vec F_{\mathrm{ext}}.\]
例题：轻杆上的两质量。 质量可忽略的杆上，\(1\,\mathrm{kg}\) 位于 \(x=0\)，\(3\,\mathrm{kg}\) 位于 \(x=4\,\mathrm m\)。
\[x_{\mathrm{cm}}=\frac{1(0)+3(4)}{1+3}=3\,\mathrm m.\]
它在两质量之间，并更靠近较重的一端。把两质量同时乘二，分子、分母同乘二，位置不变。若杆本身有质量，必须加入杆的质量及其质心，不能沿用“轻杆”的结果。
无外力意味着质心速度保持不变。只有再给初始质心静止，才可说质心位置保持不变。两物体即使在转动、碰撞或彼此分离，系统质心仍由总动量决定。
6. 人走木筏时统一到水面参考系
例题：人向右，筏向左。 \(20\,\mathrm{kg}\) 的人和 \(80\,\mathrm{kg}\) 的均匀木筏初始静止；筏长 \(5\,\mathrm m\)，水平水阻可忽略。人从筏左端走到右端。
设筏相对水面位移为 \(q\)，向右为正。人相对筏走 \(5\,\mathrm m\)，相对水面位移则是 \(q+5\)。初始质心静止且无水平外力，所以
\[80q+20(q+5)=0, \qquad q=-1\,\mathrm m.\]
人相对水面向右移 \(4\,\mathrm m\)，筏向左移 \(1\,\mathrm m\)。验算 \(80(-1)+20(4)=0\)。相对筏的行走距离与相对水面的位移不是同一个量。
7. 自主练习先注明守恒条件
练习 1：反弹。 \(0.10\,\mathrm{kg}\) 球水平以 \(8\,\mathrm{m/s}\) 向右运动，碰墙后以 \(6\,\mathrm{m/s}\) 向左反弹，接触时间 \(0.020\,\mathrm s\)，其他水平冲量可忽略。求墙的水平冲量与平均水平力。
展开练习 1 解析
向右正，\(J_x=0.10(-6-8)=-1.40\,\mathrm{N\,s}\)，\(\overline F_x=-1.40/0.020=-70\,\mathrm N\)，均向左。先写带方向的初末速度，再相减。
练习 2：粘合与质心。 光滑水平面上，\(2\,\mathrm{kg}\) 物块向右 \(5\,\mathrm{m/s}\)，撞上静止的 \(3\,\mathrm{kg}\) 物块并粘合。水平外冲量可忽略。求共同速度、动能减少量及碰撞前后的质心速度。
展开练习 2 解析
\(2(5)=5V\)，共同速度向右 \(2\,\mathrm{m/s}\)。\(K_i=25\,\mathrm J\)、\(K_f=10\,\mathrm J\)，动能减少 \(15\,\mathrm J\)。
总动量始终为向右 \(10\,\mathrm{kg\,m/s}\)，质心速度始终向右 \(2\,\mathrm{m/s}\)。碰后每个物体的速度才等于这一共同值。
练习 3：参考系转换。 \(30\,\mathrm{kg}\) 人和 \(90\,\mathrm{kg}\) 均匀木筏初始静止，水平外力可忽略。人相对筏向左走 \(4\,\mathrm m\)。求筏与人相对水面的位移，取右为正。
展开练习 3 解析
设筏位移 \(q\)，人的水面位移为 \(q-4\)。\(90q+30(q-4)=0\)，所以筏向右 \(1\,\mathrm m\)、人向左 \(3\,\mathrm m\)。检查 \(90(1)+30(-3)=0\)。
回到 workbook 时，先注明系统、参考系和外冲量条件；再决定需用共同速度、动能守恒，还是只需质量加权。例题重做用于巩固，自主练习解析看过后再答对，也不代表已经在新题中完成独立迁移。
8. 选学弹性碰撞、最大压缩与动量流
两个未知末速度需要两个独立条件
质量 \(m\) 的物块以 \(v_0>0\) 撞上静止的 \(2m\) 物块，光滑水平面、完全弹性正碰。取向右正，末速度为 \(u,w\)：
\[v_0=u+2w,\qquad v_0^2=u^2+2w^2.\]
解得实际碰后 \(u=-v_0/3\)、\(w=2v_0/3\)。联立也会得到 \(u=v_0,w=0\)，那是未发生动量交换的初态分支，不能当作已经完成碰撞的结果。弹性守恒的是总动能，各个物体的动能可以改变。
最大弹簧压缩是相对速度为零
光滑水平面上，\(1\,\mathrm{kg}\) 车以 \(6\,\mathrm{m/s}\) 追上静止 \(2\,\mathrm{kg}\) 车，两车之间的理想弹簧刚度 \(100\,\mathrm{N/m}\)，初始不压缩。把车和弹簧作为系统，外水平冲量及耗散可忽略。
最大压缩时两车瞬时共同速度 \(V=6/3=2\,\mathrm{m/s}\)，并没有在地面系停住。初动能 \(18\,\mathrm J\)，共同运动动能 \(6\,\mathrm J\)，余下 \(12\,\mathrm J\) 暂时存入弹簧：
\[\frac12(100)x_{\max}^2=12, \qquad x_{\max}=\sqrt{0.24}\approx0.490\,\mathrm m.\]
这一共同速度只属于最大压缩时刻，不自动等于两车分离后的速度。理想弹簧储能能够恢复，过程也不同于粘合耗散。
连续密度使用质量元
杆沿 \(0\le x\le L\)，线密度 \(\lambda(x)=ax\)，\(a>0\)，单位 \(\mathrm{kg/m^2}\)。令 \(dm=ax\,dx\)，则
\[M=\frac{aL^2}{2},\qquad x_{\mathrm{cm}}=\frac{\int_0^L ax^2\,dx}{M}=\frac{2L}{3}.\]
密度较大的一端权重较大，结果应在杆内。质量积分只求总质量，求质心还需再乘位置。
固定喷嘴的动量流
水在固定喷嘴内原先无水平速度，以 \(0.20\,\mathrm{kg/s}\) 的流率、\(15\,\mathrm{m/s}\) 的速度水平向右喷出。每秒带出向右 \(3\,\mathrm{kg\,m/s}\) 的动量，喷嘴受向左反冲；维持静止需要向右 \(3\,\mathrm N\) 的保持力。
这里 \(F=\dot m v\) 依赖固定装置、指定参考系和入口水平速度为零。对于有入口速度、移动喷嘴或火箭，应重新计入进出动量，不能把开放系统直接当作恒质量物体套用。