Problem Solving Lesson 把本单元的概念用到具体问题中。先认清电荷分布、观察位置和研究对象，再选择电场、通量、电势或能量方法。阅读前可回顾 Lesson 01：电场与库仑定律、Lesson 02：高斯定律、Lesson 03：电势与势能 和 Lesson 04：充电过程。数值例题取 \(k=9.0\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}\)；通量题取 \(\epsilon_0=8.85\times10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N\,m^2)}\)。
1. 先把问题补成完整句子
“求电场”要补上哪些源电荷在什么位置产生的电场；“求电力”还要指定受到力的电荷。电场 \(\vec E\) 是源与位置的信息，电力 \(\vec F=q\vec E\) 另含受力电荷的符号。
“求电势”需要参考零点；“求势能”需要指出电荷或整个相互作用系统；“求电通量”则要认清开面与包围体积的闭合面。它们的单位也不同：\(E\) 用 \(\mathrm{N/C}\)，\(V\) 用伏特，\(U\) 用焦耳，电通量用 \(\mathrm{N\,m^2/C}\)。
几个点源的电场逐个定向后作矢量和，电势带源电荷符号作标量和。高对称分布先考虑 Gauss's law；没有足够对称性时，零净通量不能直接给零电场。出现运动或外力功，再连接初、末状态的能量。
2. 净电荷、电子转移和受力分步处理
金属物体净电荷为正，通常表示失去电子；为负表示获得电子。数量为非负整数，电子转移量为 \(N_e=|\Delta Q|/e\)。
例题：充电后的小金属球。 起初中性的球失去 \(5.0\times10^9\) 个电子，取 \(e=1.60\times10^{-19}\,\mathrm C\)。净电荷为 \(+8.0\times10^{-10}\,\mathrm C\)。所在处外电场为 \(200\,\mathrm{N/C}\)、向右，则电力为 \(1.6\times10^{-7}\,\mathrm N\)、向右。
换成同电荷大小的负电荷，源电场仍向右，受力才改为向左。电荷当时的运动方向不进入静电力 \(q\vec E\)；这里不用磁场叉乘的右手规则。
3. 点源电场：先画每一项，再合成
点源场大小为 \(k|Q|/r^2\)。正源的场背离源，负源的场指向源。距离 \(r\) 从源量到观察点，不能只取水平投影。
例题：中点的电场。 \(+2.0\,\mathrm{nC}\) 固定在 \(x=-0.30\,\mathrm m\)，\(-2.0\,\mathrm{nC}\) 固定在 \(x=+0.30\,\mathrm m\)。求中点场及该处 \(-1.0\,\mathrm{nC}\) 测试电荷的力。
中点在正源右侧、负源左侧，两项场均向右，各为
\[E_1=E_2=\frac{(9.0\times10^9)(2.0\times10^{-9})}{(0.30)^2}=200\,\mathrm{N/C}.\]
所以 \(\vec E=+400\hat x\,\mathrm{N/C}\)，测试电荷的力为 \(\vec F=-4.0\times10^{-7}\hat x\,\mathrm N\)。不能因源反号，就把电场直接消掉。
二维题同样先逐源定向，再拆成同一坐标系的分量。只有确认对称配对，才能删去相反分量。求加速度时，完成合场后才用 \(\vec a=q\vec E/m\)。
4. 零场点、零电势点和静止点分开判断
把上例改成同样的两个 \(+2.0\,\mathrm{nC}\)，固定在 \(x=\pm0.20\,\mathrm m\)。中点场反向等大，\(E=0\)；以无穷远为势零，中点电势却为
\[V=2\frac{kQ}{0.20}=180\,\mathrm V.\]
反号等量源的中点则有 \(V=0\)、\(E\ne0\)。零电势是数值与参考信息，不等于局部无场。
运动粒子经过零场点时，电加速度可为零，已有速度仍可保留。是否停止要检查初态和能量；平衡是否稳定要检查稍离该点后的力，不能只看一点上合力零。
5. 通量：法向投影与净包围电荷
均匀场穿过平面时 \(\Phi_E=EA\cos\theta\)，\(\theta\) 是场与面积法向的夹角。给场与平面的角度时，先转成法向角或使用相应正弦。闭面的法向统一朝外，流入部分为负。
Gauss's law 给整个闭面的总通量：
\[\oint_S\vec E\cdot d\vec A=Q_{\rm enc}/\epsilon_0.\]
例题：立方体内外的电荷。 立方体内有 \(+3.0\,\mathrm{nC}\)，外面另有 \(-8.0\,\mathrm{nC}\)。总通量为 \(3.0\times10^{-9}/\epsilon_0\approx339\,\mathrm{N\,m^2/C}\)。外部电荷可以改变各处场与各面通量，却不增加包围电荷。
只有内部电荷位于中心、且没有破坏等价面的外源时，六面才由对称性各分总量的六分之一。偏心电荷给相同总通量，各面却不能直接均分。
6. 用高斯定律求场前，证明能把场提出积分
球对称源配同心球面；无限长均匀线源或圆柱配同轴圆柱；无限均匀面配 pillbox。相关面上场大小与法向关系须能由对称性确定。高斯定律普遍成立，方便求场的简化需要额外条件。
例题：均匀带电绝缘球。 半径 \(R=0.20\,\mathrm m\) 的实心绝缘球均匀带固定电荷 \(Q=+8.0\,\mathrm{nC}\)。求 \(r=0.10\,\mathrm m\) 与 \(r=0.40\,\mathrm m\) 的场。
球内先按体积比求 \(Q_{\rm enc}=Q(r/R)^3\)，再用观察球面积 \(4\pi r^2\)：
\[E(r)=\begin{cases}kQr/R^3,&r<R,\\kQ/r^2,&r>R.\end{cases}\]
在 \(r=0.10\,\mathrm m\)，包围 \(1.0\,\mathrm{nC}\)、场为 \(900\,\mathrm{N/C}\)；在 \(r=0.40\,\mathrm m\)，包围全部电荷、场为 \(450\,\mathrm{N/C}\)。均径向向外。
球内不能直接包围全部 \(Q\)，不能用 \(4\pi R^2\) 代替观察面积。换成静电平衡的实心导体，金属内场为零；这是另一种分布。
7. 导体与空腔：金属零场不等于整个空腔零场
静电平衡时，导体材料内部 \(E=0\)，整块相连金属等势。闭合空腔中无内部电荷时，外源不能在腔内留下静电场；腔内有源时一般有场，仍可维持金属零场。
例题：带净电荷的导体壳。 腔内固定 \(+2.0\,\mathrm{nC}\)，孤立导体壳自身净电荷 \(+5.0\,\mathrm{nC}\)。在金属里取包住空腔的高斯面，零场要求内壁总量为 \(-2.0\,\mathrm{nC}\)。壳本身守恒给外壁总量 \(+7.0\,\mathrm{nC}\)。
这确定了总量，没有证明偏心源的内壁电荷均匀。外表面场可非零，金属电势也可为非零常量。“等势”“零场”“零净电荷”不能互相替换。
8. 电势是标量，势能另含所研究电荷
以无穷远为零，点源电势为 \(V=kQ/r\)。贡献带源符号相加，不拆分量。第3节反号等量源的中点势为零，场仍非零。
测试电荷在给定外势中的势能为 \(U=qV\)。整个多点电荷系统的相互作用势能，每个不同电荷对只计一次：
\[U_{\rm system}=\sum_{i<j}\frac{kq_iq_j}{r_{ij}}.\]
例题：一对异号电荷。 \(+3.0\,\mathrm{nC}\) 与 \(-2.0\,\mathrm{nC}\) 相距 \(0.30\,\mathrm m\)，相互作用势能为 \(-1.8\times10^{-7}\,\mathrm J\)。负势能符合以无穷远为零的吸引相互作用；它不是负动能。把两项“各自在另一者外势中的 \(qV\)”相加，会重复计同一对。
9. 电势差连接功和动能，先规定两端
\(\Delta V=V_f-V_i\)，\(\Delta U=q\Delta V\)，电场功 \(W_E=-\Delta U\)。只有电力做功时 \(K_f=K_i-q\Delta V\)；另有外力时，把它的功和动能变化也记录。
例题：负电荷移向高电势。 \(-2.0\,\mathrm{nC}\) 粒子从 \(20\,\mathrm V\) 到 \(120\,\mathrm V\)，仅电力做功。势能改变 \(-2.0\times10^{-7}\,\mathrm J\)，电场做正功，动能增加 \(2.0\times10^{-7}\,\mathrm J\)。
若由外力缓慢移动，初、末动能相同且无其他耗散，才有 \(W_{\rm ext}=\Delta U=-2.0\times10^{-7}\,\mathrm J\)。负外力功表示装置从系统取能。题目没给动能条件时，不能直接把外力功认作势能变化。
10. 电势图：高度读V，局部斜率读E
一维静电区 \(E_x=-dV/dx\)；从场反求势差用 \(\Delta V=-\int E_x\,dx\)。纵坐标、割线斜率和局部切线回答不同问题。
例题：折线电势。 \(x=0\) 到 \(0.10\,\mathrm m\)，势由 \(50\,\mathrm V\) 线性降至 \(20\,\mathrm V\)；之后到 \(0.30\,\mathrm m\) 保持 \(20\,\mathrm V\)。第一段 \(E_x=+300\,\mathrm{V/m}\)；第二段 \(E_x=0\)，但势不是零。转折处不能把某一侧斜率当唯一导数。
场垂直等势面并指向较低势。相邻势差相同且有距离标定时，才可由间距可靠比较场；有限间距给该段变化估计，不自动是每点的精确导数。
端点等势给零净电场功，不要求沿途每段都无功。静电场净功取决于端点，路径上的功仍可一段正、一段负。
11. 连线与接触：检查哪个模型允许比较球电势
相连导体平衡时相等的是电势。相同球在对称的同一次接触中，可由对称性和总量守恒求相等电荷；下一次接触只更新参与的球。
例题：远隔球经细线连接。 两球半径为 \(R\)、\(2R\)，间距远大于各半径，忽略相互势贡献。细线连接后总量 \(+9.0\,\mathrm{nC}\)。可用各球孤立表面式：\(kQ_1/R=kQ_2/(2R)\)；与总量联立得 \(Q_1=3.0\,\mathrm{nC}\)、\(Q_2=6.0\,\mathrm{nC}\)。
半径比例分配依赖远隔细线模型。不等半径球实际贴合时，边界和相互作用改变，不能直接照搬孤立球式。断线后的电势还须确认电荷与几何是否保持。
12. 接地感应：把每次操作写成时间顺序
接地 Earth connection 允许导体与地球交换电子；绝缘架本身不供电子。外棒未接触导体时最初发生极化，导体净量仍可为零。
例题：负棒靠近金属球。 中性球在绝缘架上，负棒靠近而不接触；保持棒在旁边时接地，电子受排斥流向地球。先断地、再移棒，球保留正净电荷。
若先移棒、地线仍接着，电子可回流，通常静电模型下球恢复中性。先写“棒在不在、地线接不接、哪些电荷可流”，再判最终极性。
中性可极化物体也可能受吸引；“吸引”不足以单独证明两者净电荷异号。近、远侧力大小还与距离有关。
13. 自主练习：留下模型与第一条方程
练习1：电子数量。 中性导体最后净电荷 \(+1.60\,\mathrm{nC}\)，取 \(e=1.60\times10^{-19}\,\mathrm C\)。失去还是获得电子，数量多少？
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正净量表示失去电子，数量 \(1.60\times10^{-9}/(1.60\times10^{-19})=1.0\times10^{10}\)。数量非负，符号另说明方向。
练习2：外部源与通量。 任意闭面内部 \(+6.0\,\mathrm{nC}\)，外面 \(-10\,\mathrm{nC}\)。求总通量，判断能否直接求每一点场。
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总通量 \(6.0\times10^{-9}/\epsilon_0\approx678\,\mathrm{N\,m^2/C}\)。外源不计包围量，却影响局部场；没有对称性信息，不能由总通量确定各点场。
练习3：两种球。 同半径均匀带电绝缘球与静电平衡实心导体球均带正电荷 \(Q\)。各自在 \(r=R/2\) 处的场与表面场之比？
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绝缘球内 \(E\propto r\)，比为 \(1/2\)；实心导体金属内零场，比为0。分布改变时须更换模型。
练习4：电势函数。 \(V(x)=3x^2-4x+2\)，各系数有相应 SI 单位。求 \(x=1\,\mathrm m\) 的 \(E_x\)，再求零场位置及该处势。
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\(E_x=4-6x\)，在 \(x=1\) 为 \(-2\,\mathrm{V/m}\)。零场在 \(x=2/3\,\mathrm m\)，代回 \(V=2/3\,\mathrm V\)，不是零势。
练习5：带源空腔。 孤立导体自身净量 \(-1.0\,\mathrm{nC}\)，腔内固定 \(+3.0\,\mathrm{nC}\)。求内外壁总量。偏心源能否据此证明内壁均匀？
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内壁 \(-3.0\,\mathrm{nC}\)，外壁 \(+2.0\,\mathrm{nC}\)。偏心源通常使内壁非均匀；总量关系不证明局部分布。
练习6：电子加速。 电子仅受静电力，从势0移到 \(+90\,\mathrm V\)。动能改变多少电子伏特？初动能 \(10\,\mathrm{eV}\) 时末值？
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\(\Delta K=-q\Delta V=+90\,\mathrm{eV}\)，末值 \(100\,\mathrm{eV}\)。电子移向高势时势能减小。
练习7：远隔球。 半径 \(R\)、\(2R\) 的球远隔并经细线连接，忽略相互势贡献。平衡时电荷比与电势比？
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\(Q_1/R=Q_2/(2R)\)，电荷比 \(1:2\)、电势比 \(1:1\)。只用于题设已明确的远隔细线模型。
练习8：操作顺序。 负棒靠近中性导体，保持棒时接地。先移棒后断地，与先断地后移棒相比，最终净量怎样不同？写电子能否回流的理由。
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先移棒时仍可交换电子，最后通常中性；先断地则失去交换通道，移棒后保留正净量。极化与净电荷改变须分开。
14. 选学：连续源与参考值的积分
细杆：标量势积分与场方向
均匀正线密度 \(\lambda\) 的杆位于 \(0\le u\le\ell\)，观察点在 \(x=-a\)、\(a>0\)。以无穷远为零，距离为 \(a+u\)，
\[V=k\lambda\int_0^\ell\frac{du}{a+u}=k\lambda\ln\frac{a+\ell}{a}.\]
场沿 \(-x\)，
\[E_x=-k\lambda\int_0^\ell\frac{du}{(a+u)^2} =-k\lambda\left(\frac1a-\frac1{a+\ell}\right).\]
对数参数无量纲；\(a\gg\ell\) 时恢复总量 \(Q=\lambda\ell\) 的点源近似。场积分先定方向，不能只把势的积分核改个幂次。
均匀绝缘球：在表面匹配电势
外势 \(kQ/r\)。内部从表面向 \(r\) 积分：
\[V(r)=\frac{kQ}{R}-\int_R^r\frac{kQu}{R^3}\,du =\frac{kQ}{2R}\left(3-\frac{r^2}{R^2}\right),\quad r<R.\]
在表面匹配 \(kQ/R\)；中心场零，势却为 \(3kQ/(2R)\)。这是均匀绝缘球模型；导体金属内势为表面常量。
非均匀密度：使用源变量
若球内 \(\rho(u)=\rho_0u/R\)，则
\[Q_{\rm enc}(r)=\int_0^r4\pi u^2\rho(u)\,du=\frac{\pi\rho_0r^4}{R}, \qquad E(r)=\frac{\rho_0r^2}{4\epsilon_0R}.\]
变量 \(u\) 走遍源，观察半径 \(r\) 是上限。场正比 \(r^2\)，不能继续用均匀密度的线性结论。